1.5 直线及其方程

高等数学 A2



周维祺

引入：R2\mathbb R^2上的直线

R3\mathbb R^3上的直线

过点(a,b,c)(a,b,c)及具方向v⃗=(v1,v2,v3)\vec v=(v_1,v_2,v_3)有且只有一条唯一确定的直线LL

几种直线方程

  • 参数方程：{x=a+v1ty=b+v2tz=c+v3t\begin{cases}x=a+v_1t \\ y=b+v_2t \\ z=c+v_3t \end{cases}

  • 标准方程: (x−a,y−b,z−c)=t(v1,v2,v3)(x-a,y-b,z-c)=t(v_1,v_2,v_3)

几种直线方程

  • 一般方程：{Ax+By+Cz+D=0A′x+B′y+C′z+D′=0\begin{cases}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \end{cases} （思考：为什么）

  • 令n⃗=(A,B,C)\vec n=(A,B,C), n⃗′=(A′,B′,C′)\vec n'=(A',B',C')为法线

  • 此时直线的方向同时垂直于两平面的法线，即c⃗=k(n⃗×n⃗′)\vec c=k(\vec n\times\vec n')

练习

  • 已知直线LL过点(0,0,0)(0,0,0),方向(1,1,1)(1,1,1)，写出其参数方程和标准方程

  • 将{2x+y−z+1=03x−y−z−3=0\begin{cases}2x+y-z+1=0 \\ 3x-y-z-3=0 \end{cases}写为标准方程

直线与平面的位置关系

位置关系的计算

  • 设L:{x=a+v1ty=b+v2tz=c+v3tL:\begin{cases}x=a+v_1t \\ y=b+v_2t \\ z=c+v_3t \end{cases}, H:Ax+By+Cz+D=0H:Ax+By+Cz+D=0

  • 将LL的方程代入HH的方程：
    A(a+v1t)+B(b+v2t)+C(c+v3t)+D=0A(a+v_1t)+B(b+v_2t)+C(c+v_3t)+D=0

  • ⇒(Av1+Bv2+Cv3)⏟=n⃗⋅v⃗t=−(Aa+Bb+Cc+D)\Rightarrow \underbrace{(Av_1+Bv_2+Cv_3)}_{=\vec n\cdot\vec v}t=-(Aa+Bb+Cc+D)

位置关系的计算

  • (Av1+Bv2+Cv3)⏟=n⃗⋅v⃗t=−(Aa+Bb+Cc+D)\underbrace{(Av_1+Bv_2+Cv_3)}_{=\vec n\cdot\vec v}t=-(Aa+Bb+Cc+D)

  • n⃗⋅v⃗≠0⇒\vec n\cdot\vec v\neq0\Rightarrow有唯一解，相交

  • n⃗⋅v⃗=0,Aa+Bb+Cc+D≠0⇒\vec n\cdot\vec v=0, Aa+Bb+Cc+D\neq0\Rightarrow 无解，平行

  • n⃗⋅v⃗=0,Aa+Bb+Cc+D=0⇒\vec n\cdot\vec v=0, Aa+Bb+Cc+D=0\Rightarrow 无穷多解，在平面上

直线与平面的夹角

夹角的计算

  • 若θ\theta是平面法向量n⃗\vec n与直线方向v⃗\vec v的夹角

  • 则cos⁡θ=n⃗⋅v⃗/(∥n⃗∥∥v⃗∥)\cos\theta=\vec n\cdot\vec v/(\|\vec n\|\|\vec v\|)

  • 直线与平面的夹角=(π/2)−θ=(\pi/2)-\theta

练习

求与三条坐标轴夹角都相等的平面方程

直线间的位置

位置关系的计算

  • 设v⃗,v⃗′\vec v,\vec v'分别是直线L,L′L,L'的方向向量

  • 任取LL上的一点MM,和L′L'上的一点M′M',连接得到一新向量w⃗\vec w

  • L,L′L,L'共面⇔v⃗,v⃗′,w⃗\Leftrightarrow \vec v,\vec v',\vec w线性相关⇔det⁡(v⃗v⃗′w⃗)=0\Leftrightarrow\det\begin{pmatrix}\vec v & \vec v' & \vec w\end{pmatrix}=0

  • 共面时：v⃗=kv⃗′⇔\vec v=k\vec v'\Leftrightarrow平行，否则相交，夹角可由内积v⃗⋅v⃗′\vec v\cdot\vec v'计算

练习

求与三条坐标轴都共面且夹角都相等的直线方程

小结

  • 直线的参数方程和标准方程：点+方向

  • 直线的一般方程：两平面交线

  • 上述方程的相互转化

  • 直线与平面、直线与直线的位置关系、夹角及其计算