高等数学 A2 周维祺
R3\mathbb R^3R3中，两个线性无关向量x⃗,y⃗\vec x,\vec yx,y的全部线性组合{ax⃗+by⃗}\{a\vec x+b\vec y\}{ax+by}称为平面
一般地，Rn\mathbb R^nRn中，n−1n-1n−1个线性无关向量的全部线性组合称为超平面
数学中平面/超平面过原点（思考：为什么），不过原点的称为仿射(affine)平面/超平面
自然语言中两者不加区分，都称为平面
参数方程：{ax⃗+by⃗}\{a\vec x+b \vec y\}{ax+by} (或{ax⃗+by⃗+z⃗})\{a\vec x+b \vec y+\vec z\}){ax+by+z})
标准方程：设n⃗=(a,b,c)\vec n=(a,b,c)n=(a,b,c)是其法向量 {(x,y,z):ax+by+cz=0}\{(x,y,z):ax+by+cz=0\}{(x,y,z):ax+by+cz=0} {(x,y,z):ax+by+cz=d}\{(x,y,z):ax+by+cz=d\}{(x,y,z):ax+by+cz=d} {(x,y,z):a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0}\{(x,y,z):a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\}{(x,y,z):a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0}
截距式：xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1ax+by+cz=1
已知（仿射）平面过点 A=(1,1,0),B=(0,1,1),C=(1,0,1)A=(1,1,0),B=(0,1,1),C=(1,0,1)A=(1,1,0),B=(0,1,1),C=(1,0,1)
计算AB⃗×AC⃗\vec{AB}\times\vec{AC}AB×AC
写出平面的标准方程
一般地，若（仿射）平面过点 A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3),C=(c1,c2,c3)A=(a_1,a_2,a_3),B=(b_1,b_2,b_3),C=(c_1,c_2,c_3)A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3),C=(c1,c2,c3)
(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)是该（仿射）平面上任意一点，则其方程为 det(x−a1x−b1x−c1y−a2y−b2y−c2z−a3z−b3z−c3)=0\det\begin{pmatrix} x-a_1 & x-b_1 & x-c_1 \\ y-a_2 & y-b_2 & y-c_2 \\ z-a_3 & z-b_3 & z-c_3 \\ \end{pmatrix}=0det⎝⎛x−a1y−a2z−a3x−b1y−b2z−b3x−c1y−c2z−c3⎠⎞=0
给定两（仿射）平面： ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0以及a′x+b′y+c′z+d′=0a'x+b'y+c'z+d'=0a′x+b′y+c′z+d′=0
重合：(a,b,c,d)=k(a′,b′,c′,d′)(a,b,c,d)=k(a',b',c',d')(a,b,c,d)=k(a′,b′,c′,d′)
平行：(a,b,c)=k(a′,b′,c′)，d≠kd′(a,b,c)=k(a',b',c')， d\neq kd'(a,b,c)=k(a′,b′,c′)，d=kd′
夹角余弦：(n⃗,n⃗′)∥n⃗∥∥n⃗′∥=aa′+bb′+cc′(a2+b2+c2)(a′2+b′2+c′2)\frac{(\vec n,\vec n')}{\|\vec n\|\|\vec n'\|}=\frac{aa'+bb'+cc'}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a'^2+b'^2+c'^2)}}∥n∥∥n′∥(n,n′)=(a2+b2+c2)(a′2+b′2+c′2)aa′+bb′+cc′
（仿射）平面过点(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1),(−3,2,4)(-3,2,4)(−3,2,4),(5,−4,2)(5,-4,2)(5,−4,2)
求该（仿射）平面与三个坐标平面各自的夹角
平面与仿射平面的定义
（仿射）平面的几种方程
（仿射）平面间的夹角计算