1.1 向量的概念

高等数学 A2



周维祺

回顾：中学所学习的向量及其运算？

引入：上的向量

  • 有序实数组

  • 加法：


  • 数乘：


向量和向量空间的一般概念

  • 具备特定加法和数乘结构的集合称为（实）线性空间

  • 线性空间中的元素称为向量

  • 例子：一元次多项式组成的集合

  • 例子：上的连续函数

线性相关与线性无关

  • 给定实线性空间上的非零向量

  • 若存在不全为零的实数使得，
    则称线性相关

  • 反之，若当且仅当，则称线性无关

线性组合

  • 给定实线性空间上的非零向量，称
    为的一个线性组合，其中

  • 若存在非零实数使得，
    则中的任意一个向量都可以表示为其它向量的线性组合

线性相关 可以写成线性组合

例子

  • 与在上线性无关：


  • 在上线性相关：

例子

  • 与在多项式空间上线性无关：


  • 在多项式空间上线性相关：

练习

  • 给定
    （）
    （）
    （）
    （）

  • (1)(2)(3)(4)是否线性相关？

  • (1)(2)(3)是否线性相关？

维度和基向量

  • 若线性无关，且对任意非零，都线性相关，则称是上的一个最大线性无关集

  • 称为的维度，称为的一组基向量

  • 例子：和各自都是上的最大线性无关集

试证明：中任何向量都可以表示成基向量的一个唯一的线性组合

主要步骤

  • 任取非零，则线性相关 (思考：为什么)

  • 存在不全为的实数使得特别地， (思考：为什么)

  • 显然

主要步骤

  • 设
    是两个不同的线性组合，则
    。

  • 从而 ， 矛盾 (思考：为什么)

基本思想

  • 设个，则上的向量可以表示为

  • 若是上的一组基，则中任意向量都可以唯一地表示为一个线性组合，或简写为

  • 从而上的问题在一定条件下可以转变为上的问题

线性运算

  • 给定实线性空间上的一元运算，若满足






    则称是上的线性运算。

线性运算是能与线性空间的两种基本运算（加法、数乘）交换顺序的运算

例子

  • A:是上的线性运算

  • 验证：


  • 验证：

练习

  • 给定实线性空间上的连续且可导的函数

  • 验证上的定积分是上的线性运算

  • 验证求导是上的线性运算

基本思想

  • 若是上的一组基，, 是上的线性运算，则


  • 线性运算的性质完全由其在一组基上的性质所刻画

  • 研究维线性空间上的线性运算，与研究上的线性运算，本质上是一样的

小结

  • 线性空间的概念

  • 线性相关、线性无关、线性组合的概念及其联系

  • 维度和基向量

  • 线性运算的概念

拓展思考:试证明维度是唯一的，不依赖于所选取的最大线性无关集。