7.1 常微分方程初步

高等数学 A1



周维祺

常微分方程

含有导数的方程称为常微分方程，例: y′=yy'=y。

方程中出现导数的最高阶数称为该方程的阶。

例：11阶：y′=xy;y'=xy;\quad 22阶： y′′+y′−2y=0y''+y'-2y=0

通解与特解

满足给定微分方程的函数称为该方程的（通）解，通解可有无穷多个。

满足特定初值的解称为该方程的特解，例：{y′=f(x,y)y(x0)=y0\begin{dcases}y'=f(x,y) \\ y(x_0)=y_0\end{dcases}

例子

  • 人口增长：y′=kyy'=ky；
    解：y=ek(x−x0)y0y=e^{k(x-x_0)}y_0

  • 成对增长：y′=ky2y'=ky^2；
    解：y=1/(c−kx)y=1/(c-kx)； c=y0−1+kx0c=y_0^{-1}+kx_0

  • logistic曲线：y′=(1−y)yy'=(1-y)y；
    解：y=1/(1+e−x)y=1/(1+e^{-x})

常用来描述随时间变化的过程

可分离变量的常微分方程

dydx=f(x)g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)

可分离变量的常微分方程的解法

  • 转化为 1g(y)dy=f(x)dx\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx

  • 尝试两边同时积分，得∫1g(y)dy=∫f(x)dx\int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx

  • 若F(x),G(y)F(x),G(y)分别是f(x)f(x)和1g(y)\frac{1}{g(y)}的原函数

  • 则有通解G(y)=F(x)+CG(y)=F(x)+C，其中C∈RC\in\mathbb R是任意常数

例子

  • 求y′=2xy,y(0)=1y'=2xy, \quad y(0)=1的解

  • 原式可写作y−1dy=2xdxy^{-1}dy=2xdx，积分得ln⁡∣y∣=x2+C\ln |y|=x^2+C

  • ∣y∣=Cex2|y|=Ce^{x^2}，去除绝对值时负号可吸收入常数

  • 通解 y=Cex2y=Ce^{x^2}，代入y(0)=1y(0)=1得特解y=ex2y=e^{x^2}

练习

求{2y′=y2−1y(0)=0\begin{dcases}2y'=y^2-1 \\ y(0)=0\end{dcases}的解

齐次常微分方程

dydx=f(yx)\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})

齐次性

  • 若存在k>0k>0使f(λx1,…,λxn)=λkf(x1,…,xn)f(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)=\lambda^k f(x_1,\ldots, x_n)对任意λ∈R\lambda\in\mathbb R都成立，则称ff为kk阶齐次函数。

  • 例：f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y)=x^2+xy+y^2

  • 若设 f(x,y)=y′−f(xy)f(x,y)=y'-f(\frac{x}{y})，则f(x,y)f(x,y)齐次

齐次常微分方程的解法

  • 令u=y/xu=y/x，则uu是关于xx的函数，y′=(ux)′=xu′+uy'=(ux)'=xu'+u

  • 代入原方程，得 xdudx+u=f(u)x\frac{du}{dx}+u=f(u)

  • 分离变量得 1f(u)−udu=1xdx\frac{1}{f(u)-u}du=\frac{1}{x}dx

  • 再套用可分离变量的常微分方程的解法，最后u=y/xu=y/x代回

例子

  • 求y′=y2xy−x2,y(1)=1y'=\frac{y^2}{xy-x^2},\quad y(1)=1的解

  • 原式可写作 y′=(yx)2yx−1y'=\frac{(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}-1}，令u=y/xu=y/x，得xu′+u=u2u−1xu'+u=\frac{u^2}{u-1}

  • 分离变量: (1−u−1)du=x−1dx(1-u^{-1})du=x^{-1}dx 积分: u−ln⁡∣u∣=ln⁡∣x∣+Cu-\ln|u|=\ln|x|+C

  • u=ln⁡(C∣ux∣)u=\ln(C|ux|)，即通解Cy=eyxCy=e^{\frac{y}{x}}，特解ey=eyxey=e^{\frac{y}{x}}

练习

求以下方程的解

{y′=yx+ntan⁡yx,n∈Zy(1)=π2\begin{dcases} y'=\frac{y}{x}+n\tan\frac{y}{x}, & n\in\mathbb Z \\ y(1)=\frac{\pi}{2}\end{dcases}

{y=(x+x2+y2)y′    y(0)=1\begin{dcases} y=(x+\sqrt{x^2+y^2})y' & \;\; \\ y(0)=1\end{dcases}

几种可降阶的高阶微分方程

y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x)：反复积分即可

练习

  • 求y′′=e2x−cos⁡xy''=e^{2x}-\cos x满足y(0)=0,y′(0)=1y(0)=0, y'(0)=1的特解

  • 求y′′′=eax+sin⁡xy'''=e^{ax}+\sin x (a≠0a\neq0)的通解

  • 求y′′=xy''=x的解集中过点(0,1)(0,1)且在此点与y=12x+1y=\frac{1}{2}x+1相切的解

几种可降阶的高阶微分方程

y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')：记g(x)=y′(x)g(x)=y'(x)，转化为g′(x)=f(x,g)g'(x)=f(x,g)

例子

  • 求y′′+2x−1y′=0y''+2x^{-1}y'=0的通解

  • 记g(x)=y′(x)g(x)=y'(x)，原式转化为 g′+2x−1g=0g'+2x^{-1}g=0

  • 分离变量，解得 g(x)=C1x−2g(x)=C_1x^{-2}，从而y=C2−C1x−1y=C_2-C_1x^{-1}

几种可降阶的高阶微分方程

y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')：记g(y)=y′=dydxg(y)=y'=\frac{dy}{dx}

则y′′=dgdy⋅dydx=gdgdyy''=\frac{dg}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=g\frac{dg}{dy}，原式转化为 gdgdy=f(y,g)g\frac{dg}{dy}=f(y,g)

例子

  • 求yy′′−(y′)2=0yy''-(y')^2=0的通解

  • g(y)=y′g(y)=y'，原式转化为ygdgdy−g2=0yg\frac{dg}{dy}-g^2=0

  • 分离变量解得 g(y)=c1yg(y)=c_1y，即y′=c1yy'=c_1y

  • 因此y=c2ec1xy=c_2e^{c_1x}

练习

  • 求以下方程的特解

  • {(1+x2)y′′=2xy′y(0)=1y′(0)=3\begin{dcases}(1+x^2)y''=2xy' \\ y(0)=1 \\ y'(0)=3\end{dcases}

  • {2yy′′+(y′)2=0y(0)=y′(0)=1\begin{dcases}2yy''+(y')^2=0 \\ y(0)=y'(0)=1\end{dcases}

小结

  • 常微分方程的概念

  • 可分离变量的常微分方程解法

  • 齐次常微分方程解法

  • 几种可降阶的高阶微分方程的解法