求$y=x^2$与$y^2=x$所围成图形的面积

交点为$(0,0)$，$(1,1)$

$x\in(0,1)$时，$y^2=x$的图像在$y=x^2$的上方

面积$=\int_0^1\sqrt x-x^2dx=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

求极坐标下$\rho=2a\cos\theta$与$\theta=0$,$\theta=\frac{\pi}{2}$围成的面积$(a>0)$

扇形面积$\frac{1}{2}\rho^2d\theta$

面积$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cdot 4a^2\cos^2\theta d\theta=a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos(2\theta)+1)d\theta=\frac{\pi a^2}{2}$

原式$\rho^2=2a\rho\cos\theta$，即$(x-a)^2+y^2=a^2$，所求即上半圆面积

求$y^2=2x$与$y=x-4$所围成图形的面积

求椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的面积

求$y=e^x$下方、该曲线某条经过原点的切线左侧、及$x$轴上方区域的面积

求$\rho=1+\cos\theta$所围成图形的面积

求椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$绕$x$轴旋转所得图形的体积

截面是半径为$y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$的圆，其面积为$\pi y^2=\pi(b^2-\frac{b^2x^2}{a^2})$

体积$=\pi\int_{-a}^a(b^2-\frac{b^2x^2}{a^2})dx=\pi(2b^2a-\frac{2b^2a^3}{3a^2})=\frac{4}{3}\pi ab^2$

求$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$的周长

$dx=r\sin\theta d\theta$，$dy=r\cos\theta d\theta$

弧长$=\int_0^{2\pi}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}d\theta=2\pi r$

求$x^2+y^2=r^2$的周长

取上半圆：$y=\sqrt{r^2-x^2}$，$y'=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$

弧长$=2\int_{-r}^{r}\sqrt{1+(y')^2}dx=2\int_{-r}^{r}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx$

$=2r\int_{-r}^{r}\sqrt{\frac{1}{r^2-x^2}}dx=2r\left.\arcsin\frac{x}{r}\right|_{-r}^r=2\pi r$