设有一物体沿固定方向作直线运动，其$t$时刻位置为$s(t)$

则其速度$v(t)=s'(t)$

从$0$到$T$时刻，经过的路程为$s(T)-s(0)$，也等于$\int_0^Tv(t)dt$

即$\int_0^Ts'(t)dt=s(T)-s(0)$

设$f$在$[a,b]$上连续，令$F(x)=\int_a^xf(t)dt,\quad x\in[a,b]$

由积分中值定理，对任意$h>0$, 存在$\xi\in[x,x+h]$满足
$F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(x)dx=f(\xi)h,$

从而 $F'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}f(\xi)=f(x)$

设$F(x)=\int_0^{x^2}e^{t^2}dt$，求$F'(x)$

用定义和积分中值定理求: $\forall h>0$, $\exists\xi\in[x^2,(x+h)^2]$满足
$F'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{\int_{x^2}^{(x+h)^2}e^{t^2}dt}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{e^{\xi^2}(x+h+x)(x+h-x)dt}{h}=2xe^{x^4}$

用链式法则求，令$u=x^2$
$\frac{dF}{dx}=\frac{dF}{du}\frac{du}{dx}=\frac{d}{du}(\int_0^{u}e^{t^2}dt)\frac{d}{dx}(x^2)=e^{u^2}\cdot(2x)=2xe^{x^4}$

设$F(x)=\int_0^{x}xe^{t}dt$，求$F'(x)$

用乘法法则求，
$=(x\int_0^{x}e^{t}dt)'=x(\int_0^{x}e^{t}dt)'+x'(\int_0^{x}e^{t}dt)=xe^x+e^x-1$

练习：用定义和积分中值定理求$F'(x)$

设$F(x)=\int_0^{x^2}\sin^2tdt$，求$F'(x)$

设$F(x)=\int_0^{x}(x-t)e^{-t}dt$，求$F'(x)$

求$\lim\limits_{x\to0}x^{-2}\int_{\cos x}^1e^{-t^2}dt$

设$f(t)>0$且连续，证明$F(x)=\frac{\int_0^xtf(t)dt}{\int_0^xf(t)dt}$在$x>0$时单调增

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，并设$F(x)=\int_a^xf(t)dt,\quad x\in[a,b]$

则$F(a)=0$, $F(b)-F(a)=F(b)=\int_a^bf(t)dt$

设$\varphi(x)$是$f$的任意一个原函数，则$\varphi(x)=F(x)+C$，$C$是常数

$\varphi(b)-\varphi(a)=F(b)+C-F(a)-C=F(b)=\int_a^bf(t)dt$

计算$\int_{\frac{\sqrt2}{2}}^{\frac{\sqrt3}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$

计算$\int_0^2|1-x|dx$

设$y=f(x)$由方程$\int_0^{y^2}e^{t^2}dt+\int_x^0\sin tdt=0$确定，求$y'$

设$f$在$[0,1]$上连续，且$f(t)<0$，证明$2x-\int_0^xf(t)dt=1$在$[0,1]$上只有$1$个根

计算$\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx\quad (a>0)$

令$x=a\sin t, \quad t\in[0,\frac{\pi}{2}]$

$\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(a\cos t)\cdot(a\cos t)dt=a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(2t)+1}{2}dt$

$=\left.a^2(\frac{\sin(2t)}{4}+\frac{t}{2})\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{a^2\pi}{4}$

计算$\int_{-1}^1\frac{x^2+\sin x}{1+x^2}dx$

证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$

设$f(x)=\begin{cases}xe^{-x^2} & x\ge 0 \\ \frac{1}{1+\cos x} & x<0\end{cases}$，计算$\int_1^4f(x-2)dx$

计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos xdx$

令$u(x)=x$，$v(x)=\sin x$，套用公式得

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos xdx=\left.x\sin x\right|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx=\frac{\pi}{2}-1$