高等数学 A1 周维祺
设有闭区间[a,b][a,b][a,b]上的连续函数f(x)f(x)f(x)
在区间[a,b][a,b][a,b]中插入n+1n+1n+1个节点:a=x0<x1<…<xn=ba=x_0<x_1<\ldots<x_n=ba=x0<x1<…<xn=b
在[xk,xk+1][x_k,x_{k+1}][xk,xk+1]中任取一点ξk\xi_kξk，并记ℓk=xk+1−xk\ell_k=x_{k+1}-x_kℓk=xk+1−xk
考虑和式Sn=∑k=0n−1f(ξk)ℓkS_n=\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\ell_kSn=∑k=0n−1f(ξk)ℓk
若n→∞n\to\inftyn→∞且maxk∣ℓk∣→0\max_k|\ell_k|\to0maxk∣ℓk∣→0时，SnS_nSn有极限SSS
且该极限与{xk}k,{ξk}k\{x_k\}_k,\{\xi_k\}_k{xk}k,{ξk}k的选取均无关
则称SSS为f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上的定积分（黎曼积分），记作
∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx
考虑函数f(x)=xf(x)=xf(x)=x，其中x∈[0,1]x\in[0,1]x∈[0,1]
令xk=k/nx_k=k/nxk=k/n， 其中k=0,1,…,nk=0,1,\ldots,nk=0,1,…,n，则ℓk=xk+1−xk=1/n\ell_k=x_{k+1}-x_k=1/nℓk=xk+1−xk=1/n
分别计算ξk=xk\xi_k=x_kξk=xk以及ξk=xk+1\xi_k=x_{k+1}ξk=xk+1时Sn=∑k=0n−1f(ξk)ℓkS_n=\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\ell_kSn=∑k=0n−1f(ξk)ℓk的值
分别计算n→∞n\to\inftyn→∞时SnS_nSn的极限，并证明只要ξk∈[xk,xk+1]\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]ξk∈[xk,xk+1]，那么SnS_nSn都收敛到同一极限
闭区间上分段连续函数的定积分也存在
并规定∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
设有物体作变速直线运动，在ttt时刻的速度为v(t)v(t)v(t) 写出从000到TTT时刻其运动路程关于时刻ttt的表达式 并写出其加速度函数的表达式
∫abf(x)+g(x)dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\int_a^b f(x)+g(x)dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx ∫abf(x)+g(x)dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx
∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx,k∈R\int_a^b kf(x)dx=k\int_a^b f(x)dx, \quad k\in\mathbb R ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx,k∈R
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,c∈[a,b]\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx, \quad c\in[a,b] ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,c∈[a,b]
f(x)≤g(x),∀x∈[a,b]⇒∫abf(x)dx≤∫abg(x)dxf(x)\le g(x), \forall x\in[a,b] \quad \Rightarrow \quad \int_a^b f(x)dx\le \int_a^b g(x)dx f(x)≤g(x),∀x∈[a,b]⇒∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx
m≤f(x)≤M,∀x∈[a,b]⇒m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)m\le f(x)\le M, \forall x\in[a,b] \quad \Rightarrow \quad m(b-a)\le\int_a^b f(x)dx\le M(b-a) m≤f(x)≤M,∀x∈[a,b]⇒m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)
∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx\left|\int_a^b f(x)dx\right|\le \int_a^b |f(x)|dx ∣∣∫abf(x)dx∣∣≤∫ab∣f(x)∣dx
设f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，则存在ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]ξ∈[a,b]，满足
∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)
利用定积分的性质，解答下列问题：
比较∫01exdx\int_{0}^1e^xdx∫01exdx与∫01xdx\int_0^1xdx∫01xdx
给出∫04exdx\int_{0}^4e^xdx∫04exdx的一个上界和一个下界
给出∫0π2sinxxdx\int_{0}^\frac{\pi}{2}\frac{\sin x}{x}dx∫02πxsinxdx的一个上界和一个下界