显然，若$F(x)$是$f(x)$在$I$上的一个原函数，则$F(x)+C$也是$f(x)$在$I$上的一个原函数，其中$C\in\mathbb R$是一常数

反之，若$F(x)、 G(x)$是$f(x)$在$I$上的原函数，则$F(x)-G(x)=C$，其中$C\in\mathbb R$是一常数

因此，$f(x)$在$I$上的原函数是形如$\{F(x)+C\}_{C\in\mathbb R}$的一族函数，其中$F(x)$是$f(x)$在$I$上的任意一个原函数，$C\in\mathbb R$是任意常数

$\int 2xdx=x^2+C$

$\int\cos xdx=\sin x+C$

$\int x^{-1}dx=\ln|x|+C$

$\begin{cases}x>0: & (\ln x)'=x^{-1} \\x<0 & \left(\ln(-x)\right)'=-(-x)^{-1}=x^{-1}\end{cases}$

求$\int\cos^2x\sin xdx$

令$u(x)=\cos x$，则$du=-\sin xdx$

$\int\cos^2x\sin xdx=-\int u^2du=-\frac{1}{3}u^3+C=-\frac{1}{3}\cos^3x+C$

求$\int2xe^{x^2}dx$

令$u(x)=x^2$，则$du=2xdx$

$\int2xe^{x^2}dx=\int e^udu=e^u+C=e^{x^2}+C$

求以下不定积分

$\int\frac{\sin\sqrt x}{2\sqrt x}dx;\quad \int\frac{1}{x(3+2\ln x)}dx; \quad \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx;$

$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx;\quad \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx; \quad \int\frac{1}{x^2-a^2}dx;$

$\int\tan xdx; \quad \int(3+2x-x^2)^{-1}dx; \quad \int \sec xdx;$

求$\int\sqrt{a^2-x^2}dx\quad (a>0)$

令$x=a\sin t, t\in[-\pi/2, \pi/2]$，则$dx=a\cos tdt$

$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\int\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}a\cos tdt=a^2\int \cos^2tdt$

$a^2\int \cos^2tdt=\frac{a^2}{2}\int(\cos (2t)+1)dt=\frac{a^2}{2}\left(\frac{\sin(2t)}{2}+t\right)+C$

被积函数中有$\sqrt{a^2-x^2}$，令$x=a\sin t$

被积函数中有$\sqrt{a^2+x^2}$，令$x=a\tan t$

被积函数中有$\sqrt{x^2-a^2}$，令$x=a\sec t$

求$\int\frac{1}{x+\sqrt x}dx$

令$x=t^2 (t\ge 0)$，则$dx=2tdt$

$\int\frac{1}{x+\sqrt x}dx=\int\frac{2t}{t^2+t}dt=\int\frac{2}{t+1}dt=2\ln(t+1)+C$

$=2\ln(1+\sqrt x)+C$

求以下不定积分

$\int\frac{1}{\sqrt x(1+\sqrt[3]{x})}dx; \quad \int\sqrt{e^x-1}dx$

$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx; \quad \int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx$

求$\int x^2e^xdx$

令$u(x)=x^2$, $v(x)=e^x$

$\int x^2e^xdx=x^2e^x-\int 2xe^xdx$

$=x^2e^x-2(xe^x-\int e^xdx)=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$

求$\int \sin xe^xdx$

令$u(x)=\sin x$, $v(x)=e^x$

$\int \sin xe^xdx=\sin xe^x-\int \cos xe^xdx$
$=\sin xe^x-(\cos xe^x-\int (-\sin x)e^xdx)$

$\int \sin xe^xdx=\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)e^x+C$

求$\int \arctan xdx$

令$u(x)=\arctan x$, $v(x)=x$

$\int \arctan xdx=x\arctan x-\int \frac{x}{1+x^2}dx$
$=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$

可以利用导数降低被积函数的次数

被积函数中带有正、余弦或指数函数

可以利用导数凑出换元法一中的形态

求以下不定积分

$\int x\cos xdx$

$\int x\ln xdx$

$\int \cos xe^xdx$