曲率的定义
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设有质点从光滑曲线上一点M出发沿曲线运动
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t时刻经过的路程为s(t),切线变化的角度为θ(t)
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平均曲率 K=s(t)θ(t)
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点M处的曲率 KM=limt→0s(t)θ(t)
曲率的计算
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给定光滑曲线y=f(x),求每一点处的曲率
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设点x的切线角度为θ(x),则有y′=tanθ,从而y′′=sec2θdxdθ
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即dxdθ=1+tan2θy′′=1+(y′)2y′′,而弧微分dxds=1+(y′)2
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K=dxdsdxdθ=(1+(y′)2)23y′′
曲率的计算
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若曲线由参数方程{x=φ(t)y=ψ(t)给出
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计算过程略
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则K=((φ′)2+(ψ′)2)23φ′ψ′′−φ′′ψ′
曲率
K=(1+(y′)2)23y′′
K=((φ′)2+(ψ′)2)23φ′ψ′′−φ′′ψ′
例子
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求双曲线xy=1在(1,1)处的曲率
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y=x−1,y′=−x−2,y′′=2x−3
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K=(1+(y′)2)23y′′=22
曲率圆和曲率半径
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设曲线S在M处的曲率为K,有切线L和法线L′
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圆心在L′上,半径为K−1,在M处的切线也为L,且在M附近凹凸性与S相同的圆称为S在M处的曲率圆,其半径称为M处的曲率半径
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M处的曲率圆在M附近与S近似,因此也称密切圆(应用:p173 例3)
小结
- 曲率的概念
- 曲率的计算及参数方程下的计算
- 曲率圆和曲率半径的概念
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