高等数学A1 周维祺
设y=f(t)y=f(t)y=f(t)在[a,b][a,b][a,b]上可导且导数也连续
对x∈[a,b]x\in[a,b]x∈[a,b]，记s(x)s(x)s(x)为其图像在t∈[a,x]t\in[a,x]t∈[a,x]之间的曲线长度
fff可微，即当Δx→0\Delta x\to0Δx→0时，局部趋近于线性变化
s′=limΔx→0ΔsΔx=limΔx→0(Δx)2+(Δy)2Δx=1+(y′)2s'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}{\Delta x}=\sqrt{1+(y')^2}s′=Δx→0limΔxΔs=Δx→0limΔx(Δx)2+(Δy)2=1+(y′)2
设有质点从光滑曲线上一点MMM出发沿曲线运动
ttt时刻经过的路程为s(t)s(t)s(t)，切线变化的角度为θ(t)\theta(t)θ(t)
平均曲率 K=θ(t)s(t)K=\frac{\theta(t)}{s(t)}K=s(t)θ(t)
点MMM处的曲率 KM=limt→0θ(t)s(t)K_M=\lim_{t\to0}\frac{\theta(t)}{s(t)}KM=limt→0s(t)θ(t)
求半径为rrr的圆上每一点处的曲率
容易看出，转过角度θ\thetaθ时，经过的路程为rθr\thetarθ，切线变化的角度即θ\thetaθ
K=r−1K=r^{-1}K=r−1
给定光滑曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)，求每一点处的曲率
设点xxx的切线角度为θ(x)\theta(x)θ(x)，则有y′=tanθy'=\tan\thetay′=tanθ，从而y′′=sec2θdθdxy''=\sec^2\theta\frac{d\theta}{d x}y′′=sec2θdxdθ
即dθdx=y′′1+tan2θ=y′′1+(y′)2\frac{d\theta}{d x}=\frac{y''}{1+\tan^2\theta}=\frac{y''}{1+(y')^2}dxdθ=1+tan2θy′′=1+(y′)2y′′，而弧微分dsdx=1+(y′)2\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(y')^2}dxds=1+(y′)2
K=dθdxdsdx=y′′(1+(y′)2)32K=\frac{\frac{d\theta}{d x}}{\frac{ds}{dx}}=\frac{y''}{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}}K=dxdsdxdθ=(1+(y′)2)23y′′
若曲线由参数方程{x=φ(t)y=ψ(t)\begin{cases}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{cases}{x=φ(t)y=ψ(t)给出
计算过程略
则K=φ′ψ′′−φ′′ψ′((φ′)2+(ψ′)2)32K=\frac{\varphi'\psi''-\varphi''\psi'}{\left((\varphi')^2+(\psi')^2\right)^{\frac{3}{2}}}K=((φ′)2+(ψ′)2)23φ′ψ′′−φ′′ψ′
K=y′′(1+(y′)2)32K=\frac{y''}{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}} K=(1+(y′)2)23y′′
K=φ′ψ′′−φ′′ψ′((φ′)2+(ψ′)2)32K=\frac{\varphi'\psi''-\varphi''\psi'}{\left((\varphi')^2+(\psi')^2\right)^{\frac{3}{2}}} K=((φ′)2+(ψ′)2)23φ′ψ′′−φ′′ψ′
求双曲线xy=1xy=1xy=1在(1,1)(1,1)(1,1)处的曲率
y=x−1,y′=−x−2,y′′=2x−3y=x^{-1}, \quad y'=-x^{-2}, \quad y''=2x^{-3}y=x−1,y′=−x−2,y′′=2x−3
K=y′′(1+(y′)2)32=22K=\frac{y''}{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt2}{2}K=(1+(y′)2)23y′′=22
抛物线y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c在哪一点处曲率最大
椭圆{x=acosty=bsint\begin{cases}x=a\cos t \\ y=b\sin t\end{cases}{x=acosty=bsint在哪一点处曲率最大？在哪一点处曲率最小
设曲线SSS在MMM处的曲率为KKK，有切线LLL和法线L′L'L′
圆心在L′L'L′上，半径为K−1K^{-1}K−1，在MMM处的切线也为LLL，且在MMM附近凹凸性与SSS相同的圆称为SSS在MMM处的曲率圆，其半径称为MMM处的曲率半径
MMM处的曲率圆在MMM附近与SSS近似，因此也称密切圆（应用：p173 例3）