设$y=f(t)$在$[a,b]$上可导且导数也连续

对$x\in[a,b]$，记$s(x)$为其图像在$t\in[a,x]$之间的曲线长度

$f$可微，即当$\Delta x\to0$时，局部趋近于线性变化

$s'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}{\Delta x}=\sqrt{1+(y')^2}$

设有质点从光滑曲线上一点$M$出发沿曲线运动

$t$时刻经过的路程为$s(t)$，切线变化的角度为$\theta(t)$

平均曲率 $K=\frac{\theta(t)}{s(t)}$

点$M$处的曲率 $K_M=\lim_{t\to0}\frac{\theta(t)}{s(t)}$

求半径为$r$的圆上每一点处的曲率

容易看出，转过角度$\theta$时，经过的路程为$r\theta$，切线变化的角度即$\theta$

$K=r^{-1}$

给定光滑曲线$y=f(x)$，求每一点处的曲率

设点$x$的切线角度为$\theta(x)$，则有$y'=\tan\theta$，从而$y''=\sec^2\theta\frac{d\theta}{d x}$

即$\frac{d\theta}{d x}=\frac{y''}{1+\tan^2\theta}=\frac{y''}{1+(y')^2}$，而弧微分$\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(y')^2}$

$K=\frac{\frac{d\theta}{d x}}{\frac{ds}{dx}}=\frac{y''}{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}}$

若曲线由参数方程$\begin{cases}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{cases}$给出

计算过程略

则$K=\frac{\varphi'\psi''-\varphi''\psi'}{\left((\varphi')^2+(\psi')^2\right)^{\frac{3}{2}}}$

求双曲线$xy=1$在$(1,1)$处的曲率

$y=x^{-1}, \quad y'=-x^{-2}, \quad y''=2x^{-3}$

$K=\frac{y''}{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt2}{2}$

抛物线$y=ax^2+bx+c$在哪一点处曲率最大

椭圆$\begin{cases}x=a\cos t \\ y=b\sin t\end{cases}$在哪一点处曲率最大？在哪一点处曲率最小

设曲线$S$在$M$处的曲率为$K$，有切线$L$和法线$L'$

圆心在$L'$上，半径为$K^{-1}$，在$M$处的切线也为$L$，且在$M$附近凹凸性与$S$相同的圆称为$S$在$M$处的曲率圆，其半径称为$M$处的曲率半径

$M$处的曲率圆在$M$附近与$S$近似，因此也称密切圆（应用：p173 例3）