高等数学A1 周维祺
设在上连续，在上可导，若在上有：
，则单调增；若，则单调不减；
，则单调减；若，则单调不增；
例：考虑速度函数，其导数为加速度，符号决定了速度的增减
判断下列函数的单调性
证明有且只有一个实根
令，则
连续且单调不减，，，因此有且只有一个实根
证明时，
在时连续且单调增，因此
若是极值点且在附近可导，则
极值点也可能不可导，例: 在处
若在极值点附近可导（从而连续），则显然在极值点附近两侧的增减性不同，从而的符号不同
若二阶导数存在，则也可以借助二阶导数的符号来判断
正: 极小；负：极大；零：不定
若是极值点，且存在，则也存在且为，从而
分别考虑和时的符号即得结果
求以下函数的极值点和对应的极值
利用二阶导数求以下函数的极值点和对应的极值
极值是局部性质，最值是全局性质
函数在区间上可导，则其最值是其驻点，不可导点以及区间端点之一
最值点在端点处的例子: 在上；
最值点不可导的例子：在处
求在上的最值
求曲线 的切线在坐标上截距之和的最小值
设某饮料销量为升时具有成本，收入，求利润最大时的销量
称是凸集，若其中任意两点连线段上所有的点都在中
连线的直线方程：； 连线段：
是凸集：, 都有
动机：函数图像上方围成的区域是凸集
推导：
定义：若在区间上连续，且对任意都满足 , 则称是上的凸函数
若存在，则是凸函数
本课件中的凸函数沿用了英语文献的习惯，即convex function，如前所述，这一名称来源于凸集(convex set)的定义
在部分中文文献（包括本课程的教材）中，由于汉字字形的原因，convex function对应的函数被称为凹函数，阅读时应注意辨析
函数凹凸性发生改变的点称为拐点
若二阶可导，则拐点处为，反之不成立，例：或
拐点的判断较为复杂，本课程不作要求
应注意拐点与极值点的区别，拐点图像拐弯的点
判断下列函数的凹凸性
设，证明时有