令$F(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$, $G(x)=(x-a)^2$

则$F'(x)=f'(x)-f'(a)$, $G'(x)=2(x-a)$

从而$F(a)=G(a)=F'(a)=G'(a)=0$

由中值定理得 $\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\frac{F'(\eta)}{G'(\eta)}=\frac{F'(\eta)-F'(a)}{G'(\eta)-G'(a)}=\frac{F''(\xi)}{G''(\xi)}=\frac{f''(\xi)}{2}$

令$F(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$, $G(x)=(x-a)$

则$F'(x)=f'(x)-f'(a)$, $G'(x)=1$

从而$F(a)=G(a)=F'(a)=0$

由洛必达法则得 $\lim\limits_{x\to a}\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{F'(x)}{G'(x)}=\lim\limits_{x\to a}F'(x)=0$

求以下函数在$0$处的$n$阶泰勒展开，分别写出皮亚诺余项和拉格朗日余项的形式

$f(x)=e^x$

$f(x)=\sin x$, $f(x)=\cos x$

$f(x)=\ln(1\pm x)$

拉格朗日余项: $\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n$

$n!\sim O(n^n)$, 若$|x-a|$有界，$f^{(n)}$有界，则余项$\to 0$

常见场合：$x\in [a-r, a+r]$，且$f^{(n)}$在$[a-r, a+r]$上连续

例：$f(x)=e^x$；
反例：$f(x)=(1+x^2)^{-1}$ （$f^{(n)}(0)$增长速度与$n!$相仿 ）

$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$

例 $e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\ldots$

级数不一定收敛，例$f(x)=\frac{1}{1-x}$

（收敛性：下学期进一步学习）

用泰勒展开计算$\sqrt e$，精确到$0.01$

在$0$处作带拉格朗日余项的展开
$e^x=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}x^k+\frac{e^{\xi}}{n!}x^n$，$\xi\in[0,\frac{1}{2}]$

取$x=1/2$

$\sqrt e=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}(\frac{1}{2})^k+\frac{e^{\xi}}{n!}(\frac{1}{2})^n$，$\xi\in[0,\frac{1}{2}]$

$n=3$，余项$=\frac{e^{\xi}}{3!}(\frac{1}{2})^3\ge\frac{1}{48}>0.02$；

$n=4$，余项$=\frac{e^{\xi}}{4!}(\frac{1}{2})^4\le\frac{3}{24}(\frac{1}{2})^4<0.0079<0.01$

$\sqrt e\approx\sum_{k=0}^{3}\frac{1}{k!}(\frac{1}{2})^k\approx1.65$

用泰勒展开计算$\lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x^2}$

$e^x-x-1=\frac{e^{\xi}}{2}x^2$， $\xi\in[0,x]$

因此 $\lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x^2}=\lim_{\xi\to0}\frac{e^{\xi}}{2}=\frac{1}{2}$

用泰勒展开计算$\sin\frac{\pi}{10}$，精确到$0.001$

用泰勒展开计算$\ln 1.2$，精确到$0.001$

用泰勒展开计算$\lim_{x\to 0}\frac{x+\ln(1-x)}{x^2}$

用泰勒展开计算$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$

设有利率为$r\%$的存款产品，则大约经过$\frac{72}{r}$年本金翻倍

$(1+r\%)^n=2\Rightarrow n\ln(1+r\%)=\ln 2$

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\ldots\approx x$

$n\approx\frac{\ln 2}{r\%}\approx\frac{69.3}{r}\approx\frac{72}{r}$ （取$72$较易计算）