若$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0 或 \infty$

在$a$的某去心邻域内$f,g$可导，且$g'(x)\neq 0$

$\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$ ($A$可以为无穷)

则 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

也允许：

$a$为无穷，极限为单侧极限

几种常见形态：$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0^{\infty}, \infty^0$等等

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$

$\lim_{x\to 0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=1$

$\lim_{x\to \infty}\frac{2x^2+3}{3x^2+2}=\lim_{x\to \infty}\frac{4x}{6x}=\lim_{x\to \infty}\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

令$F(x)=\begin{cases} f(x) & x\neq a \\ 0 & x=a\end{cases}$，$G(x)=\begin{cases} g(x) & x\neq a \\ 0 & x=a\end{cases}$

在$a$附近对$F/G$应用柯西中值定理

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\lim\limits_{\xi\to a}\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}=\lim\limits_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

$\infty/\infty$型的证明略

计算以下极限：

$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+\ln x}{x\ln x}$

$\lim_{x\to\infty}x(\arctan x-\pi)$

$\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x-\cos x}$

$0/0$或$\infty/\infty$是必要的
例$\lim\limits_{x\to1}\frac{x+1}{2x+1}=\frac{2}{3}\neq\frac{1}{2}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)'}{(2x+1)'}$

$f'(x)/g'(x)$存在是必要的
例：$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}=1$, 而$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(x+\sin x)'}{(x)'}=\lim\limits_{x\to\infty}1+\cos x$ 不存在

在$a$附近$g'(x)\neq0$是必要的
例：$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\sin x}$不存在，但导数之比的极限存在

计算$\lim_{x\to \infty}x^2e^{\frac{1}{x^2}}$

计算$\lim_{x\to \infty}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln x})$

计算$\lim_{x\to 0}(\frac{\sin x}{x})^{\frac{1}{1-\cos x}}$

计算$\lim\limits_{x\to \infty}(\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}})$

直接运用法则：
$\lim\limits_{x\to \infty}(\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}})=\lim\limits_{x\to \infty}(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}})=\lim\limits_{x\to \infty}(\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}})=...$

作变换：
$\lim\limits_{x\to \infty}(\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}})=\lim\limits_{x\to \infty}(\frac{1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}})=1$