显函数: $y=f(x)$
例：$y=\sin x$, $y=x^2$

隐函数 $F(x,y)=0$
例$x^2-y=0, \quad e^{x^2+y^2}-2=0\; (y\ge 0)$

对F$(x,y)=0$两侧每一项对$x$求导

求导时应注意$y=f(x)$是与$x$有关的函数

注意运用链式、乘法等法则

整理后得到结果，结果中可以含有$y$

求$e^y+xy-e=0$所确定的函数$y=f(x)$关于$x$的导数

两边对$x$求导: $\underbrace{e^yy'}_{=(e^y)'}+\underbrace{xy'+y}_{=(xy)'}=0$

整理得 $y'=-y(x+e^y)^{-1}$

求$x-y+\frac{1}{2}\sin y=0$所确定实函数的二阶导数

对$x$求导: $1-y'+\frac{1}{2}\cos yy'=0$

再对$x$求导: $-y''+\frac{1}{2}(-\sin yy'y'+\cos y y'')=0$

整理得 $y''=\frac{-\sin y (y')^2}{2-\cos y}=\frac{-4\sin y}{(2-\cos y)^3}$

求$x-y+\frac{1}{2}\sin y=0$所确定函数的二阶导数

对$x$求导: $1-y'+\frac{1}{2}\cos yy'=0$

整理得 $y'=\frac{2}{2-\cos y}$

再对$x$求导: $y''=\frac{-2\sin yy'}{(2-\cos y)^2}=\frac{-4\sin y}{(2-\cos y)^3}$

$y=f(x)$的函数关系蕴含在形如$\begin{cases}x=u(t) \\ y=v(t)\end{cases}$的表达式中

例子：质点运动，$t$时刻的位置

例子：$y=\sqrt{1-x^2}$可写作 $\begin{cases}x=\cos\theta \\ y=\sin\theta\end{cases},\; \theta\in[0,\pi]$

设$x=u(t),\; y=v(t)$

$\Delta x=u(t+\Delta t)-u(t)$，$\Delta y=v(t+\Delta t)-v(t)$

设$u$有连续反函数, $u,v$可导

$\frac{dy}{dx}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{u(t+\Delta t)-u(t)}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}{\frac{u(t+\Delta t)-u(t)}{\Delta t}}=\frac{v'(t)}{u'(t)}$

求椭圆$x=a\cos t, y=b\sin t$在$t=\pi/4$处的切线方程

$\frac{dx}{dt}=-a\sin t, \; \frac{dy}{dt}=b\cos t$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{b\cos t }{a\sin t}$

切线斜率$-\frac{b}{a}$，切点$(a\frac{\sqrt 2}{2}, b\frac{\sqrt 2}{2})$，方程 $y-b\frac{\sqrt 2}{2}=-\frac{b}{a}(x-a\frac{\sqrt2}{2})$

设$x=u(t),\; y=v(t)$

将$\frac{dy}{dx}$视作关于$t$的函数

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$

求$x=a(t-\sin t), \quad y=a(1-\cos t)$所确定函数的二阶导数

$\frac{dx}{dt}=a(1-\cos t), \; \frac{dy}{dt}=a\sin t\;\Rightarrow\;\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$

再对$t$求导 $\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})=...$ （练习）

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}=...$ （练习）