1.3 函数的极限以及两个重要极限

高等数学A1



周维祺

一些例子

时，

函数的极限

称是实函数在时的极限，若对任意，都存在，使得对中的任意都成立

函数的极限

称是实函数在时的极限，若对任意极限为的实数列（且），实数列的极限都是

函数的极限

表示在时的极限为

讨论不需要在处有定义，但应在附近有定义

(在的去心领域上有定义，或至少是定义域的一个聚点)

例子

  • 验证

  • 对任意, 取

  • 若，则对中的任意都成立

  • 若，则对中的任意也都成立

例子

  • 设，验证时的极限不存在

  • 取任意极限为的正数列，则是常数列，极限为

  • 取任意极限为的负数列，则也是常数列，极限为

练习

设，验证时的极限不存在

单侧极限

仅从一侧（左侧或右侧）时函数值的极限

左极限

称是实函数在时的左极限，若对任意，都存在，使得对任意都成立

左极限

称是实函数在时的左极限，若对任意极限为且满足的实数列，实数列的极限都是

右极限

称是实函数在时的右极限，若对任意，都存在，使得对任意都成立

右极限

称是实函数在时的右极限，若对任意极限为且满足的实数列，实数列的极限都是

单侧极限的记号

表示在时的左极限为

表示在时的右极限为

例子

  • 设，验证时的极限不存在



练习

设，计算时的左极限和右极限

时函数的极限

称是实函数在时的极限，若对任意，都存在，使得对中的任意都成立

时函数的极限

也可将定义为

练习

验证

函数极限的性质

  • 若时有极限，则

  • 唯一性：此极限唯一

  • 有界性：存在，使对中的任意都成立

  • 保号性：若此极限为，则存在，使对中的任意都成立

两个重要极限

练习

  • 计算以下极限：



小结

  • 函数极限的定义

  • 单侧极限的定义

  • 函数极限的性质

  • 两个重要极限