高等数学A1 周维祺
设有实数列{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N，若x∗∈Rx^*\in\mathbb Rx∗∈R满足：对任意给定的ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，都存在Nϵ∈NN_{\epsilon}\in\mathbb NNϵ∈N，使得只要k≥Nϵk\ge N_{\epsilon}k≥Nϵ，就有∣xk−x∗∣≤ϵ|x_k-x^*|\le\epsilon∣xk−x∗∣≤ϵ，则称{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N收敛，且其极限是x∗x^*x∗。记作limn→∞xn=x∗\lim_{n\to\infty}x_n=x^*limn→∞xn=x∗，或xn→x∗x_n\to x^*xn→x∗
(也称{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N收敛于或收敛到x∗x^*x∗)
xn=n−1x_n=n^{-1}xn=n−1, 用定义验证 limn→∞xn=0\lim_{n\to\infty}x_n=0limn→∞xn=0
对任意给定的ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，令Nϵ∈NN_{\epsilon}\in\mathbb NNϵ∈N满足Nϵ≥ϵ−1N_{\epsilon}\ge\epsilon^{-1}Nϵ≥ϵ−1
对k≥Nϵk\ge N_{\epsilon}k≥Nϵ有∣xk−0∣=k−1≤Nϵ−1≤ϵ|x_k-0|=k^{-1}\le N_{\epsilon}^{-1}\le\epsilon∣xk−0∣=k−1≤Nϵ−1≤ϵ
用定义验证：
limn→∞2−n=0,以及limn→∞∑k=0n2−k=2\lim_{n\to\infty}2^{-n}=0, \quad \text{以及}\quad \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n2^{-k}=2 n→∞lim2−n=0,以及n→∞limk=0∑n2−k=2
十进制表达不唯一
若{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N收敛，则其极限唯一
设a,ba,ba,b都是{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N的极限
给定任意ϵ>0\epsilon>0ϵ>0, 对充分大的nnn，都有∣xn−a∣≤ϵ|x_n-a|\le\epsilon∣xn−a∣≤ϵ，∣xn−b∣≤ϵ|x_n-b|\le\epsilon∣xn−b∣≤ϵ
∣a−b∣=∣a−xn+xn−b∣≤∣a−xn∣+∣xn−b∣≤2ϵ|a-b|=|a-x_n+x_n-b|\le|a-x_n|+|x_n-b|\le 2\epsilon∣a−b∣=∣a−xn+xn−b∣≤∣a−xn∣+∣xn−b∣≤2ϵ
由ϵ\epsilonϵ的任意性得∣a−b∣=0|a-b|=0∣a−b∣=0
若{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N收敛，则存在M>0M>0M>0，使∣xn∣≤M|x_n|\le M∣xn∣≤M对任意n∈Nn\in\mathbb Nn∈N都成立
设{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N的极限是x∗x^*x∗
取ϵ=1\epsilon=1ϵ=1，则存在N∈NN\in\mathbb NN∈N，使∣xk−x∗∣≤1|x_k-x^*|\le 1∣xk−x∗∣≤1对k≥Nk\ge Nk≥N都成立
从而∣xk∣≤∣x∗∣+1|x_k|\le|x^*|+1∣xk∣≤∣x∗∣+1
取M=max{∣x1∣,∣x2∣,…,∣xN−1∣,∣x∗∣+1}M=\max\{|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_{N-1}|, |x^*|+1\}M=max{∣x1∣,∣x2∣,…,∣xN−1∣,∣x∗∣+1}即可
若xn→x∗≠0x_n\to x^*\neq0xn→x∗=0，则存在N>0N>0N>0，使k≥Nk\ge Nk≥N时，xkx_kxk与x∗x^*x∗同号
（证明：取ϵ=x∗/2\epsilon=x^*/2ϵ=x∗/2即可）
若{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N收敛，则其所有子列都收敛，极限与{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N的极限相同
（证明：由极限定义可得）
若{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N的奇数项和偶数项都收敛于x∗x^*x∗，则{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N也收敛于x∗x^*x∗
（由定义可证，证明留作课后思考题）
xn=(−1)nx_n=(-1)^nxn=(−1)n是否收敛，说明理由
{an}n∈N\{a_n\}_{n\in\mathbb N}{an}n∈N有界，bn→0b_n\to 0bn→0，证明anbn→0a_nb_n\to0anbn→0
{an}n∈N\{a_n\}_{n\in\mathbb N}{an}n∈N是任意数列，bn→0b_n\to 0bn→0，则{anbn}n∈N\{a_nb_n\}_{n\in\mathbb N}{anbn}n∈N是否收敛，说明理由
若{xn}n∈N,{yn}n∈N,{zn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N},\{y_n\}_{n\in\mathbb N},\{z_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N,{yn}n∈N,{zn}n∈N满足xn≤yn≤znx_n\le y_n\le z_nxn≤yn≤zn，且limn→∞xn=limn→∞zn=a\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}z_n=alimn→∞xn=limn→∞zn=a，则limn→∞yn=a\lim_{n\to\infty}y_n=alimn→∞yn=a
给定ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，存在Nx,Nz∈NN_x,N_z\in\mathbb NNx,Nz∈N，使得∣xj−a∣≤ϵ|x_j-a|\le \epsilon∣xj−a∣≤ϵ，∣zk−a∣≤ϵ|z_k-a|\le \epsilon∣zk−a∣≤ϵ对j≥Nx,k≥Nzj\ge N_x, k\ge N_zj≥Nx,k≥Nz都成立
取N=max(Nx,Nz)N=\max(N_x,N_z)N=max(Nx,Nz)，则对i≥Ni\ge Ni≥N有 yi≤zi≤a+ϵ,yi≥xi≥a−ϵy_i\le z_i\le a+\epsilon, \quad y_i\ge x_i\ge a-\epsilonyi≤zi≤a+ϵ,yi≥xi≥a−ϵ
即∣yi−a∣≤ϵ|y_i-a|\le\epsilon∣yi−a∣≤ϵ
limn→∞1n2+1(n+1)2+…+1(n+n)2=?\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\ldots+\frac{1}{(n+n)^2}=? n→∞limn21+(n+1)21+…+(n+n)21=?
单调不减有上界或单调不增有下界的数列必有极限
(本课程不作证明)
设x1=2x_1=2x1=2, xn+1=2−1(xn+xn−1)x_{n+1}=2^{-1}(x_n+x_n^{-1})xn+1=2−1(xn+xn−1)
用归纳法证明xn>1x_n>1xn>1
证明{xn}n∈N\{x_n\}_{n\in\mathbb N}{xn}n∈N单调递减
计算x2,x3x_2,x_3x2,x3, 推测并验证该数列的极限