不公平赌约

张三和李四不想洗碗，李四提议用打赌来决定谁去洗。 双方每次等概率地生成一个0到1之间的随机数，初始时$S=0$。 首先张三不断生成随机数并加到S，直至$S>1$，记录其最后所得的随机数作为x。 接下来李四用样生成随机数并加到S，直至$S>1$，记录其最后所得的随机数作为y。 比较x和y，数值较大者获胜。 例如，若张三先生成0.62和0.44，则$S=0.62+0.44=1.06>1$，因此$x = 0.44$。接下来若李四生成0.1，0.27和0.91，则$S=1.06+0.1+0.27+0.91>2$，因此$y=0.91>x$，李四胜。 张三听闻规则后略加思索便提出反对，因为这一规则并不公平。 求后手玩家李四的获胜概率，答案保留10位小数，即0.abcdefghij的形式。

本题难度:

解答

由于要求10位小数的精度，可以想像模拟法会需要$10^{10}$以上数量级的试验，解析计算则非常复杂，一种手段是离散化，即先假定双方在$(0,1/n,2/n,\ldots,(n-1)/n,1)$之间选数，再令$n\to\infty$。 此处直接引用此文的结论得x的概率密度为$e-e^{1-x}$, y的概率密度为$e^2-e-e^{2-y}+(1-y)e^{1-y}$，从而y大于x的概率为 $$\int_{0}^{1}\left(\int_0^y(e-e^{1-x})dx\right)(e^2-e-e^{2-y}+(1-y)e^{1-y})dy=\int_0^1(ey+e^{1-y}-e)(e^2-e-e^{2-y}+(1-y)e^{1-y})dy=\frac{1}{4}(1+14e-5e^2)\approx0.5276662759.$$ 本题无需编程。