平方谷仓

农夫张三找人新建了一座谷仓，然而他发现这个谷仓竟是圆柱形时，这使他非常愤怒，因为张三对平方数有一种特别的喜好。

谷仓制造商李四解释说，他造的谷仓一贯如此，而且不管怎么说谷仓的地基反正是正方形的，不过张三并不接受这个说法，并坚持要拆掉谷仓。

李四灵机一动，又解释说当堆积在谷仓里的谷物顶部会形成一个锥形，其母线与水平面的夹角称为休止角。例如，当休止角$\alpha=30^{\circ}$且锥顶位于谷仓的中心点时，其顶部将是一个标准的圆锥形，而谷仓的直径是6米，从而此时谷仓中被浪费掉的空间约为$32.648388556 m^3$。而当锥顶的位置不在谷仓中心时，其顶部则会形成一个奇特的弯曲斜面，如下图：

用x表示锥顶与谷仓中心点的距离，休止角仍为$\alpha=30^{\circ}$，并用$V(x)$来表示被浪费掉的空间，若$x=1.114785284$（保留到$9=3^2$位小数），则$V(x)\approx36$，此外还有$V(2.511167869)\approx49$，这就好比平方数如谷仓之王一般从谷顶俯瞰。

张三觉得这番胡言乱语还颇为优雅，不过当他更仔细地检验了李四的示意图和计算后又指出，谷仓的半径（而非直径）是6米，且休止角实际是$40^{\circ}$。不过若李四还能找到类似的解，他会愿意保留这个谷仓。

帮李四找出此时所有使得被浪费的空间为平方数的x值，并计算出$\sum x$，结果保留9位小数。

本题难度:

解答

本题题面的说明不甚明晰，实际是在$x\in[0,6]$的范围内求所有能令$V(x,40,6)$为完全平方数的x之和，并将结果舍入至9位小数，其中$V(x,\alpha,r)$表示锥顶与谷仓中心点的距离为x，休止角为$\alpha$，谷仓半径为r时被浪费的空间。

用最基础的牛顿科特斯法作数值积分，再用二分法求解x即可。V的解析式可由锥面方程直接获得，不过步骤繁琐并无乐趣，以下代码直接改编自官网论坛，最终结果是$23.386029052$。

注：因使用scipy作数值积分，以下代码为Python 3。

注2：本题涉及公式是数学系本科《解析几何》、《数值分析》的标准内容。

from math import *
from scipy.integrate import quad

g=lambda u,x: u*(d:=sqrt(u*u+x*x))+x*x*log(u+d)
f=lambda x,p,r:g(-p+(d:=sqrt(r*r-x*x)),x)-g(-p-d,x) 

r=6
t=tan(pi*40/180)
epsilon=0.000000001
res=0
for n in range(20,26):
    a,b=0,r
    va=t*quad(lambda x:f(x,a,r),0,r)[0]
    vb=t*quad(lambda x:f(x,b,r),0,r)[0]
    while b-a>epsilon:
        c=(a+b)/2
        v=t*quad(lambda x:f(x,c,r) ,0,r)[0]
        if v <= n*n:
            a,va=c,v
        else:
            b,vb=c,v
    res+=c

print(f"{res:.9f}")