吃饼

张三决定用一种不同寻常的方式来吃饼。 设饼的大小是1且为圆形，他先沿着一条半径在馅饼上切一刀，并选择一个固定的比例F。 （1）若当前所剩余的饼不少于F，他就在边缘上等概率地选择两个点，然后从饼的中心到这两个点切两刀，这样剩下的饼就分作三份。他从切这两刀之前切的位置处开始，按逆时针拿走前两份馅饼并吃掉它们。 （2）若当前所剩余的饼少于F，就不再继续切分，而是把剩下的饼全部吃掉。 给定$x\ge 1$，取$F=1/x$，并记$E(x)$为上述步骤（1）的期望次数。 可以验证$E(1)=1, E(2)\approx1.2676536759, E(7.5)\approx2.1215732071$。 求$E(40)$，并四舍五入到小数点后10位。

本题难度:

解答

令$f(x)$为剩余比例为x时所需步骤（1）的期望次数，则有 $$f(x)=\frac{1}{x^2}\int_{F}^{x}\int_{F}^x\left(1+f(\min(x_1,x_2))\right)dx_1dx_2,$$ 即 $$x^2f^2(x)=(x-F)^2\int_{F}^{x}\int_{F}^xf(\min(x_1,x_2))dx_1dx_2.$$ 由对称性不妨只考察$x_1\le x_2$的情况，则有 $$\int_F^x\int_F^xf(\min(x_1,x_2))dx_1dx_2=2\int_F^x\int_{\max(x_1,F)}^xf(x_1)dx_2dx_1=2\int_F^x(x-x_1)f(x_1)dx_1.$$ 代回原式并对x求两次导可得 $$x^2f''(x)+4xf'(x)=2.$$ 令$g(x)=f'(x)$，则得一阶线性微分方程 $$g'(x)+\frac{4}{x}g(x)=\frac{2}{x^2},$$ 解得 $$g(x)=\frac{2}{3x}+\frac{C}{x^4},$$ 从而 $$f(x)=\frac{2}{3}\ln x-\frac{C}{3x^3}+C'.$$ $f(1)$就是所需要的值，为确定常数C和C'，将F=1/40和f代入原积分方程可得结果 $$\frac{2}{3}\ln40+\frac{2}{9\times 40^3}+\frac{7}{9}\approx 3.2370342194.$$ 本题无需编程。 注：本题中的常微分方程解法是我国《高等数学》课程的标准内容。