不难看出最优解一定是关于坐标轴对称的，因此可以只考虑第一象限的分割情况。
令$m=n/2$，并设垂直分割线的横坐标从小到大依次是
$$x_0=0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_m < 1=x_{m+1},$$
水平分割线的纵坐标从小到大依次是
$$y_0=0 < y_1 < y_2 < \ldots < y_m < 1=y_{m+1},$$
那么本题就是要令
$$\sum_{i=1}^m\sum(x_{i+1}-x_i)(y_{m+1}-y_{m+1-i}),$$
最小。这是一个多元优化问题，可以任选一组初值（比如等距分割）计算梯度迭代求解。不过对于本问题而言有这样一个观察：
最优分割中与红色区域相邻的黑色区域（只考虑第一象限），其左下角与圆周相交，且左上到右下的对角线平行于此交点处圆的切线。
满足上述性质的分割可由一条分割线唯一确定，因此利用二分搜索确定起点$x_1$的坐标即可得结果$3.1486734435$。
注：为便于作除法和格式化输出，以下代码为Python 3。
import math
bound=200
epsilon=10**(-11)
a,b,x1=0.0,1.0,0.0
while abs(x1-1)>=epsilon:
area=x1=c=0.5*(a+b)
i,y0=0,1
while x1 <= 1 and i < bound:
y1=math.sqrt(1-x1*x1)
dx=(y0-y1)*y1/x1
area+=dx*y1
x1+=dx
y0=y1
i+=1
if x1>1:
b=c
else:
a=c
print(f"{4*area:.10f}")
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