令
$$a=(p-5)! \bmod p,$$
则有
$$S(p)=a+(-4)a+(-4)(-3)a+(-4)(-3)(-2)a+(-4)(-3)(-2)(-1)a=9a \pmod p.$$
又由Wilson定理可知$(p-1)! \bmod p=-1$，即
$$24a=-1 \pmod p.$$
在模p乘法群中求出a的值（为减少码量，这一步用sympy实现）再汇总即得结果$139602943319822$。
注：因需使用sympy库，以下代码为Python 3。
import sympy
target=10**8
d=[0]*target
n=2
while n < target:
for i in range(n*n,target,n):
d[i]=d[i]+1
n=n+1
while n < target and d[n]>0:
n=n+1
print(sum((9*sympy.mod_inverse(-24,p))%p for p in range(5,target) if d[p]==0))
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