众所周知，调和级数$1+1/2+1/3+1/4+\ldots$发散。

不过若略过所有分母中含有数字9的项，则新的级数将收敛到约22.9206766193。这一修正后的级数称为Kempner级数。

现考虑另一种修正方式：略过所有分母中含有至少3个连续相同数字的项。可以验证，在调和级数的前1200项中只有以下20项会因此而被略过：这20个被忽略的项是： $$\frac{1}{111}, \frac{1}{222}, \frac{1}{333}, \frac{1}{444}, \frac{1}{555}, \frac{1}{666}, \frac{1}{777}, \frac{1}{888}, \frac{1}{999}, \frac{1}{1000},$$ 以及 $$\frac{1}{1110}, \frac{1}{1111}, \frac{1}{1112}, \frac{1}{1113}, \frac{1}{1114}, \frac{1}{1115}, \frac{1}{1116}, \frac{1}{1117}, \frac{1}{1118}, \frac{1}{1119}.$$ 这一新级数同样收敛。求该级数的极限的近似值，结果四舍五入到小数点后10位数字。

本题难度:

解答

该计数收敛非常慢，直接计算是不可取的。

具体算法可以参考此文以及此文。

此外，Wolfram的该页面提供了直接计算此类级数的工具，选择计算略过$000, 111,\ldots,999$这十个子串的级数和即可。

最终结果是$253.6135092068$。

本题无需编程。