2011个9

考虑实数$\sqrt2+\sqrt3$的偶数次幂： \begin{align*} (\sqrt2+\sqrt3)^2&=9.898979485566356\ldots \\ (\sqrt2+\sqrt3)^4&=97.98979485566356\ldots \\ (\sqrt2+\sqrt3)^6&=969.998969071069263\ldots \\ (\sqrt2+\sqrt3)^8&=9601.99989585502907\ldots \\ (\sqrt2+\sqrt3)^{10}&=95049.999989479221\ldots \\ (\sqrt2+\sqrt3)^{12}&=940897.9999989371855\ldots \\ (\sqrt2+\sqrt3)^{14}&=9313929.99999989263\ldots \\ (\sqrt2+\sqrt3)^{16}&=92198401.99999998915\ldots \end{align*} 看起来似乎这些幂的小数部分开头连续的9的数目始终不降，事实上可以证明$(\sqrt2+\sqrt3)^{2n}$的小数部分趋近于1。

现考虑所有形如$\sqrt p+\sqrt q$的实数，其中$p < q$均为正整数，且$(\sqrt p+\sqrt q)^{2n}$的小数部分趋近于1。

记$C(p,q,n)$为$(\sqrt p+\sqrt q)^{2n}$的小数部分开头连续的9的数量。

记$N(p,q)$为使得$C(p,q,n)\ge 2011$的最小n值。

求$\sum_{p+q\le2011}N(p,q)$。

本题难度:

解答

不难看出$(\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2n}+(\sqrt{q}-\sqrt{p})^{2n}$是整数。

分别将其二项展开后可以看出，若$(\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2n}$的小数部分趋近于1，则$(\sqrt{q}-\sqrt{p})^{2n}$的小数部分趋近于1，且$C(p,q,n)$等于$(\sqrt{q}-\sqrt{p})^{2n}$的小数部分开头连续的0的数量，即$\left\lfloor-2n\lg (\sqrt{q}-\sqrt{p})\right\rfloor$，从而 $$N(p,q)=\left\lceil-\dfrac{M}{2\lg(\sqrt{q}-\sqrt{p})}\right\rceil,$$ 此处证明较难但可以推测需要$\sqrt{q}-\sqrt{p} < 1$，循环计算即得结果$709313889$。

注：为便于作除法以及需要math.ceil返回整型，以下为Python 3代码。

import math
print(sum(math.ceil(1005.5/-math.log10(math.sqrt(q)-math.sqrt(p))) for p in range(1,2012) for q in range(p+1, 2012) if p+q<=2011 and math.sqrt(q)-math.sqrt(p)<1))