记碎片落地前的全部轨迹所形成的图形为$\Omega$，取一垂直于地面的平面截$\Omega$得截面S。
由对称性可知显然$\Omega$就是S绕地面的法线旋转所得的图形，因此要计算其体积只需求出S的轮廓（即边界）所对应的曲线方程。
以地面的法线作为y轴在S所在的平面上建立直角坐标系，设一裂片迸射时与x轴的夹角为$\theta$，则其关于时间t的轨迹参数方程为
$$\begin{cases}x=vt\cos\theta, \\ y=h+vt\sin\theta-\frac{1}{2}gt^2,\end{cases}$$
对每一个固定的y，求出x的最大值即可得轮廓的曲线方程。用拉格朗日乘数法可得
$$\begin{cases}v\cos\theta=\lambda(v\sin \theta-gt), \\ -vt\sin\theta=\lambda vt\cos\theta\end{cases}$$
消去$\lambda$可得$v=gt\sin\theta$，代回原参数方程可得
$$x^2=\frac{v^2}{g}(2h+\frac{v^2}{g}-2y).$$
另外，不难计算碎片可以达到的最大高度是
$$H=h+\frac{v^2}{2g},$$
因此最终结果是
\begin{align*}
V&=\int_{0}^H \pi x^2dy \\
&=\frac{\pi v^2}{g}\int_{0}^H(2h+\frac{v^2}{g}-2y)dy \\
&=\frac{2\pi v^2}{g}\int_{0}^H(H-y)dy \\
&=\frac{\pi v^2}{g}\cdot H^2 \\
&=\frac{\pi v^2}{g}\cdot(h+\frac{v^2}{2g})^2 \\
&\approx 1856532.8455
\end{align*}
本题无需编程，且相当于我国理工科《高等数学》课程的练习题。
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