勾股几率

张三选择了一个正整数k，然后在区间$[0,1]$上以均匀分布独立等概率地选择了两个实数a,b。

若$\sqrt{(ka+1)^2+(kb+1)^2}$四舍五入到最近的整数后恰等于k，则他得k分，否则不得分。

例如，若$k=6, a=0.2, b=0.85$，则$\sqrt{(ka+1)^2+(kb+1)^2}=6.484\ldots$，四舍五入到最近整数是6，因此结果等于k，可得$k=6$分。

可以验证，若进行10轮，且分别选择$k=1,2,\ldots,10$，则总得分的期望值四舍五入到五位小数是$10.20914$。

若进行$10^5$轮，且分别选择$k=1,2,\ldots,10^5$，则总得分的期望值四舍五入到五位小数是多少？

本题难度:

解答

令$x=ka+1,y=kb+1$，则$(x,y)$在$\mathbb R^2$中的正方形$\{(x,y): 1\le x,y\le k+1\}$中均匀分布，且当 $$|\sqrt{x^2+y^2}-k|<\frac{1}{2}$$ 时能得分。从而当$k\ge 2$时得分的几率是中心在原点、半径分别为$k-0.5$和$k+0.5$之间的圆环与上述正方形态的交集面积与正方形面积$k^2$之比。因此只需计算积分 $$\int_1^{\sqrt{(k+0.5)^2-1}}\sqrt{(k+0.5)^2-x^2}dx-\int_1^{\sqrt{(k-0.5)^2-1}}\sqrt{(k-0.5)^2-x^2}dx-\left(\sqrt{(k+0.5)^2-1}-\sqrt{(k-0.5)^2-1}\right)$$ 上式可以解读为 $$\int_1^{\sqrt{(k-0.5)^2-1}}\sqrt{(k+0.5)^2-x^2}dx-\int_1^{\sqrt{(k-0.5)^2-1}}\sqrt{(k-0.5)^2-x^2}dx+\left(\int_{\sqrt{(k-0.5)^2-1}}^{\sqrt{(k+0.5)^2-1}}\sqrt{(k+0.5)^2-x^2}dx-\sqrt{(k+0.5)^2-1}-\sqrt{(k-0.5)^2-1}\right)$$ 其中前两项积分之差就是大小圆环在该正方形内的面积之差，最后括号内的三项是大圆环在$\sqrt{(k-0.5)^2-1}$到$\sqrt{(k+0.5)^2-1}$之间与正方形交集的面积，它等于积分值减去正方形下底$y=1$以下的矩形部分。

不难计算 \begin{align*} \int_1^{\sqrt{a^2-1}}\sqrt{a^2-x^2}dx&=a^2\int_{\arcsin a^{-1}}^{\arcsin a^{-1}\sqrt{a^2-1}}\cos^2tdt \\ &=\frac{a^2}{2}\left.(\frac{\sin(2t)}{2}+t)\right|_{\arcsin a^{-1}}^{\arcsin a^{-1}\sqrt{a^2-1}} \\ &=\frac{a^2}{2}(\arcsin\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}-\arcsin\frac{1}{a}) \end{align*} 汇总求和可得结果$157055.80999$。

注：本题中涉及的积分计算是我国《高等数学》课程的标准内容。

注2：为方便除法，以下为Python 3代码。

import math

f=lambda a:0.5*a*a*(math.asin(math.sqrt(a*a-1)/a)-math.asin(1/a))

print(f"{sum((f(k+0.5)-f(k-0.5)-math.sqrt((k+0.5)*(k+0.5)-1)+math.sqrt((k-0.5)*(k-0.5)-1))/k for k in range(11,100001))+10.20914:.5f}")