亿万富翁

假设现有一次独一无二的投资机会摆在你面前： 你有1元初始资本，你可以选择一个固定的比例f，每一轮你需要投入当前资本中比例为f的金额，并抛掷一枚标准硬币，这一过程将重复一千轮。 每一轮抛掷若硬币正面朝上，则你的收益是投入资本的两倍（即总共获得三倍于投入的金额），否则无回报（即损失投入的金额）。 例如选择$f=1/4$，则第一轮投入0.25元，假定抛掷结果是正面朝上，则第一轮结束后总资本变为1.5元，下一轮需要投入0.375元，假定抛掷结果是反面朝上，则第二轮结束后总资本变为1.125元。 不难看出经过一千轮后你有一定几率拥有至少10亿的资本，若选择能最大化这一几率的f时，则此时这一几率具体是多少，答案四舍五入到小数点后12位，即0.abcdefghijkl的形式。

本题难度:

解答

设有n次正面，则最终金额是$v_n=(1+2f)^n(1-f)^{1000-n}$，这样的情况共有$\binom{1000}{n}$种。 需要$v_n\ge 10^9$，两边取对数，即得 $$n\ln(1+2f)+(1000-n)\ln(1-f)\ge 9\ln 10,$$ 移项并整理得 $$n\ge \frac{9\ln 10-1000\ln(1-f)}{\ln(1+2f)-\ln(1-f)}, \quad 0 < f < 1.$$ 用Wolfram Alpha可以算出右侧的最小值是431.256，在$f\approx0.146884$处取到。 因此取$n_0=432$，再用Wolfram Alpha可计算出概率为 $$\frac{\sum_{k=432}^{1000}\binom{1000}{k}}{2^{1000}}\approx0.999992836187.$$ 本题无需编程。