考虑边长为$a=7$、$b=24$以及$c=25$的直角三角形，它的面积是84，能被完全数6和28整除。

此外，它还是一个本原直角三角形，即满足$\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(a,c)=1$。

同时，c还是一个完全平方数。

若一个本原直角三角形的斜边是完全平方数，就称该直角三角形是完美的。

若一个完美直角三角形的面积是完全数6和28的倍数，就进一步称该直角三角形是超级完美的。

在斜边$c\le 10^{16}$的完美直角三角形中，有多少个不是超级完美的？

本题难度:

解答

由欧几里得公式可知，本原直角三角形的三边可以由数对m,n用以下方式生成 $$a=m^2-n^2, \quad b=2mn, \quad c=m^2+n^2,$$ 其中$m>n$，$\gcd(m,n)=1$且m,n的奇偶性不同。

若$c=r^2$是完全平方数，则m,n,r又构成一组勾股数，且又可以由数对p,q用同样方式生成

$$m=\max(p^2-q^2,2pq) \quad n=\min(p^2-q^2,2pq), \quad r=p^2+q^2,$$ 此时只要求$p>q$。

从而完美直角三角形的面积是 $$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot |(p^2-q^2)^2-4p^2q^2|\cdot 4pq(p^2-q^2)=2pq(p^2-q^2)(p^4+q^4-6p^2q^2).$$ 现验证：

1) 3能整除S。

若p或q能被3整除，则结论显然。否则$p^2$和$q^2$模3都余1，从而$p^2-q^2$能被3整除。

2) 4能整除S。

若p或q能被2整除，则结论显然。否则$p^2$和$q^2$都是奇数，从而$2(p^2-q^2)$能被4整除。

3) 7能整除S。

若p或q能被7整除，则结论显然。否则$p^2$和$q^2$模7的余数只能在$\{1,2,4\}$中，从而又有以下四种子情况：

3.1) $p^2=q^2 \pmod 7$，显然此时$p^2-q^2$能被7整除。

3.2) $p^2$和$q^2$模7分别余1和2（或2和1，顺序无影响），此时$p^4+q^4-6p^2q^2$模7得$1+4-12=0\pmod 7$。

3.3) $p^2$和$q^2$模7分别余1和4（或4和1，顺序无影响），此时$p^4+q^4-6p^2q^2$模7得$1+16-24=0\pmod 7$。

3.4) $p^2$和$q^2$模7分别余2和4（或4和2，顺序无影响），此时$p^4+q^4-6p^2q^2$模7得$4+16-48=0\pmod 7$。

综上所述，S总能被3、4、7整除，从而能被6和28整除，因此完美直角三角形都是超级完美的，结果是$0$。

本题无需编程。