本题用到笛卡尔圆定理（Descartes Circle Theorem），即设有三个两两相切且半径分别为$r_1, r_2, r_3$的圆，则与这三个圆都相切的第四个圆的半径$r_4$满足
$$2(k_1^2+k_1^2+k_3^2+k_4^2)=(k_1+k_2+k_3+k_4)^2,$$
其中$k_i=1/r_i$是圆的曲率，负数解表示第四个前三个圆外侧包含前三个圆，正数解表示第四个圆在前三个圆之间与三者都外切。
将其视作关于$k_4$的二次方程，易得
$$k_4=k_1+k_2+k_3\pm2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_1k_3}.$$
设最外层大圆的半径是$1$，则由上述公式可得第一轮之前就已存在的三个肤色圆的半径是$2\sqrt3-3$。
容易看出，若空隙由三个曲率分别为$k_1,k_2,k_3$的圆围成，那么所放入圆的曲率$k_4$可以由上述公式获得，放入后原空隙被分割为三个新的空隙，分别由曲率为$(k_1,k_2,k_4), (k_2,k_3,k_4), (k_1,k_3,k_4)$的圆围成。
迭代计算，记录并汇总每次放入的圆的面积，即得结果$0.00396087$。
import math
k=(math.sqrt(3)*2+3)/3
r=math.sqrt(3)*2-3
s=r*r*3
f=lambda a,b,c: a+b+c+2*math.sqrt(a*b+b*c+a*c)
holes=[(-1,k,k),(-1,k,k),(-1,k,k),(k,k,k)]
i=0
while i < 10:
newHoles=[]
for a,b,c in holes:
d=f(a,b,c)
s+=1.0/(d*d)
newHoles.append((a,b,d))
newHoles.append((a,c,d))
newHoles.append((b,c,d))
holes=newHoles
i+=1
print "%.8f" %(1-s)
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