令
$$f(x)=(\frac{n}{x})^x,$$
则
$$f'(x)=(\frac{n}{x})^x(\ln\frac{n}{x}-1),$$
其零点为$x=n/e$， $f'$在零点的左侧始终为正，右侧始终为负，因此$x=n/e$是一个全局最大值点。
由于k只能是整数，因此先令$k=\lfloor n/e \rfloor$，并比较$f(k)$和$f(k+1)$的大小：
\begin{align*}
&(\frac{n}{k+1})^{k+1}>(\frac{n}{k})^k \\
\Leftrightarrow &(k+1)(\ln n-\ln(k+1))>r(\ln n-\ln k) \\
\Leftrightarrow &\ln n>\ln (\frac{k+1}{k})^k(k+1) \\
\Leftrightarrow &\frac{n}{k+1}>(1+\frac{1}{k})^k.
\end{align*}
因此上述不等式成立时取$k=\lceil n/e \rceil$，否则取$k=\lfloor n/e \rfloor$。
将$n/k$化为最简分数后若分母没有2或5以外的质因子，那么结果为有限小数，否则为无限小数。
按此计算即得结果$48861552$。
注: 本题涉及的微积分涵盖在我国各层次的《高等数学》课程中。
import math,fractions
d=0
for n in range(5,10001):
x=int(n/math.e)
if 1.0*n/(x+1)>(1+1.0/x)**x:
x+=1
x/=fractions.gcd(n,x)
while x%2==0:
x/=2
while x%5==0:
x/=5
d+=-n if x==1 else n
print d
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