公共直角边

考虑边长分别为$(9,12,15)$，$(12,16,20)$，$(5,12,13)$和$(12,35,37)$的直角三角形，它们都有一条直角边长为12。可以证明不存在其它三边长均为整数且也有一条直角边长为12的直角三角形。 找出最小的整数n，使得三边长均为整数、且有一条直角边长为n的不同直角三角形恰有47547个。

本题难度:

解答

令$a(n)$为三边长均为整数且有一条直角边为n的不同直角三角形总数。根据OEIS A046079的内容，若 $$n=2^{a_0}p_1^{a_1}\ldots p_k^{a_k},$$ 是n的质因数分解，则 $$a(n)=\begin{cases}\frac{1}{2}\left((2a_0-1)(2a_1+1)\ldots(2a_k+1)-1\right) & a_0>0 \\ \frac{1}{2}\left((2a_1+1)\ldots(2a_k+1)-1\right) & a_0=0 \end{cases}$$ 而 $$47547\times 2+1=95095=5\times 7\times 11\times 13\times 19.$$ 因此最小的n是 $$2^{10}\times 3^6\times 5^5\times 7^3\times 11^2=96818198400000.$$ 本题无需编程。