空心平铺一

考虑将正方形正中间挖去一个小正方形（两者的中心相同，四边相互平行）所得的图形，让我们称其为一方形环片。 使用恰好32块单位边长的方块板，可以拼成两种不同的方形环片： 使用最多100块单位边长的方块板，能拼出41种不同的方形环片。 使用最多一百万块单位边长的方块板，能拼出多少种不同的方形环片？

本题难度:

解答

令a为空心部分的边长，d为边界的宽度，从而整个方形环片的边长的$a+2d$。 拼出这样一个图形共需 $$(a+2d)^2-a^2=4d^2+4ad,$$ 个单位边长的方块板，因此只需找出满足 $$4d^2+4ad\le 10^6,$$ 即 $$a\le \frac{250000}{d}-d,$$ 的数对$(a,d)$即可。从1到$(\sqrt{10^6+1}-1)/2$枚举d再相加即得结果 $$\sum_{d=1}^{499}\lfloor\frac{250000}{d}\rfloor-d=1572729.$$ 注：本题无需编程，用WolframAlpha等工具即可计算上式。