容易想到的方法是做许多次模拟并统计频次，不过由于题中要求六位精度，而多组一百万次实验都没有达到足够的精度，因此推测模拟的收敛速度比较慢，需要找到其他的方法。
事实上本题的解析解可以递归计算。令a、b、c、d分别为信封中A2、A3、A4、A5纸的数量。令$f(a,b,c,d)$为从状态a、b、c、d开始，此后信封中恰好只有一张纸的次数的期望值，如此则有
$$f(0,0,0,0)=0$$
以及
\begin{align*}
f(a,b,c,d)=&f(a-1,b+1,c+1,d+1)\cdot\frac{a}{a+b+c+d} \\
&+f(a,b-1,c+1,d+1)\cdot\frac{b}{a+b+c+d} \\
&+f(a,b,c-1,d+1)\cdot\frac{c}{a+b+c+d} \\
&+f(a,b,c,d-1)\cdot\frac{d}{a+b+c+d} \\
&+\begin{cases}1 & a+b+c+d=1 \\ 0 & a+b+c+d>1\end{cases}
\end{align*}
结果是$f(1,1,1,1)-1$ (需要排除最后一轮，因此减1)，约为$0.464399$。
def f(a,b,c,d):
if a+b+c+d==0:
return 0
else:
h=1.0*f(a-1,b+1,c+1,d+1)*a/(a+b+c+d) if a>0 else 0
i=1.0*f(a,b-1,c+1,d+1)*b/(a+b+c+d) if b>0 else 0
j=1.0*f(a,b,c-1,d+1)*c/(a+b+c+d) if c>0 else 0
k=1.0*f(a,b,c,d-1)*d/(a+b+c+d) if d>0 else 0
return h+i+j+k+(a+b+c+d==1)
print "%.6f" %(f(1,1,1,1)-1)
|
