可逆数

给定正整数n，令r(n)为将n中的数字逆序排列后所得的数字。若n和r(n)的位数相同，且$n+r(n)$的所有数字均为奇数，则称n为可逆数。 例如$36+63=99$，$409+904=1313$，因此36、63、409、904都是可逆数。 小于一千的数中一共有120个可逆数。在小于十亿（$10^9$）的数中，一共有多少个可逆数？

本题难度:

解答

本题的关键是能注意到不存在九位的可逆数。若$n=a_9\ldots a_1$是一九位可逆数，则n与r(n)的各位数字之和分别是 $$a_9+a_1, \; a_8+a_2, \;a_7+a_3, \;a_6+a_4, \;a_5+a_5, \;a_4+a_6, \;a_3+a_7, \;a_2+a_8, \;a_1+a_9.$$ 显然$a_5+a_5$是偶数，因此有$a_4+a_6>10$且为奇数，从而$a_7+a_3=a_3+a_7$是偶数，进而有$a_2+a_8=a_8+a_2>10$且为奇数，从而首位$a_9+a_1$需要是偶数，不过$a_9+a_1$又等于末位的$a_1+a_9$，而$a_1+a_9$应是奇数，故矛盾。 此外，还应注意到可拟数的首位和末位的奇偶性必然不同，而n是可逆数等价于r(n)是可逆数，因此只需考虑奇数即可。 暴力搜索即得结果$608720$。 print 2*sum(all(i in "13579" for i in str(n+int(str(n)[::-1]))) for n in range(11,100000000,2))