设
$$\begin{cases}x+z=r^2, \\ x+y=s^2, \\ y+z=t^2 \end{cases}$$
则有
$$x=\frac{r^2-t^2+s^2}{2}, \quad y=\frac{s^2-r^2+t^2}{2}, \quad z=\frac{r^2-s^2+t^2}{2}.$$
若令
$$\begin{cases}x-z=c^2, \\ x-y=b^2, \\ y-z=a^2, \end{cases},$$
则可得
$$\begin{cases}s^2-t^2=c^2, \\ r^2-t^2=b^2, \\ s^2-r^2=a^2, \end{cases}$$
即
$$\begin{cases}s^2=c^2+t^2, \\ r^2=b^2+t^2, \\ c^2=a^2+b^2, \end{cases}$$
形成三组勾股数。
用欧几里得算法生成一定范围内的所有勾股数（需要尝试若干次以确定范围，实验显示取不超过1000的$c,r,s$足矣）。
枚举所有可能的组合并检验可得结果为$x=434657$, $y=420968$, $z=150568$，它们的和是$1006193$。
import math,itertools
q=set([i*i for i in range(1,1000)])
d=set([])
for m in range(2,32):
for n in range(1-m%2,min(math.isqrt(1000000-m*m)+1,m),2):
if math.gcd(m,n)==1:
a,b,c=m*m-n*n,2*m*n,m*m+n*n
if c < 1000:
i=1
while c*i < 1000:
d.add(c*i)
i+=1
def check(c,r,s):
c2,r2,s2=c*c,r*r,s*s
t2=s2-c2
a2=s2-r2
b2=c2-a2
if (t2 in q) and (a2 in q) and (b2 in q) and (b2+t2==r2) and r2+t2>s2 and (s2+r2+t2)%2==0:
return [(s2+r2+t2)//2,(r2-t2+s2)//2,(s2-r2+t2)//2,(r2-s2+t2)//2]
else:
return [99999999]*4
for c,r,s in itertools.combinations(sorted(list(d)),3):
a,b=check(c,r,s),check(r,c,s)
if a[0] < 99999999 or b[0] < 99999999:
print(min(a,b))
break
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