等腰三角形

考虑底为$b=16$，腰为$L=17$的等腰三角形。 易知该三角形的高是$h=\sqrt{17^2−8^2}=15$，恰好比底长小1。 而当$b=272$、$L=305$时，可以算出$h=273$，恰好比底长大1，这也是满足性质b、L为整数、且$h=b±1$的等腰三角形中第二小的。 把所有这样的等腰三角形从小到大排列，求其中前12个的腰长L之和。

本题难度:

解答

由OEIS A007805的数据可知结果是$1118049290473932$。 注：以下充分条件摘自这里，其必要性未及论述。 令$\{F_n\}_{n\in\mathbb N}$为斐波那契数列，容易验证 $$F_1F_4-F_2F_3=1\cdot3-1\cdot 2=1,$$ 因此 \begin{align*} F_{n-1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+1}&=F_{n-1}(F_n+F_{n+1})-F_nF_{n+1} \\ &=(F_{n-1}-F_n)F_{n+1}+F_{n-1}F_{n} \\ &=-(F_{n-2}F_{n+1}-F_{n-1}F_{n}) \\ &=\ldots=\pm 1. \end{align*} 注意到 $$(F_{n-1}F_{n+2})^2+(2F_{n}F_{n+1})^2=(F_{2n+1})^2,$$ 从而若$F_{2n+1}$和$F_{n-1}F_{n+2}$都是偶数，就可以取 $$b=F_{n-1}F_{n+2}, \quad L=\frac{1}{2}F_{2n+1},\quad h=F_{n}F_{n+1}.$$ 本题无需编程。