斐波那契金块

考虑无穷级数 $$A_F(x)=F_1x+F_2x^2+F_3x^3+\ldots$$ 其中$F_k$是斐波那契数列$1, 1, 2, 3, 5, 8, …$的第k项。斐波那契数列的通项是：$F_k=F_{k−1}+F_{k−2}$，且$F_1=F_2=1$。 本题所考虑是的能令$A_F(x)$依次取到自然数$1,2,3,\ldots$的自然数x。例如可以验证 $$A_F(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{5}{32}+\ldots=2.$$ 对每个自然数n，记$x_n$为满足$A_F(x_n)=n$的数，前五个这样的数依次是 $$\begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\ \sqrt2-1 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{13}-2}{3} & \frac{\sqrt{89}-5}{8} & \frac{\sqrt{34}-3}{5}\end{matrix}$$ 若$x_n$是有理数，则称n是斐波那契金块，例如2是第一个斐波那契金块。这样的数随着n的增加而越来越少，例如第十个斐波那契金块是74049690。 求第15个斐波那契金块。

本题难度:

解答

显然 $$A_F(x)-xA_F(x)-x^2A_F(x)=x,$$ 因此 $$A(x)=\frac{x}{1-x-x^2}.$$ 令 $$n=\frac{x}{1-x-x^2},$$ 则有 $$x^2+(1+\frac{1}{n})\cdot x-1=0.$$ 若x为有理数，则 $$(1+\frac{1}{n})^2+4=\frac{5n^2+2n+1}{n^2},$$ 需要是有理数的平方, 即$5n^2+2n+1=(n+1)^2+(2n)^2$需要是完全平方数。 这样的n已收录在OEIS A081018中，查该表即得结果是$1120149658760$。 本题无需编程。