$\sqrt2$可以写成无限连分数的形式 $$\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \ldots}}}}.$$ 这个无限连分数可以简记为$\sqrt{2} = [1;(2)]$，其中括号内的部分是循环节。类似地，$\sqrt{23} = [4;(1,3,1,8)]$。

截取其连分数表示的前n项，就得到一系列有理逼近值，例如： \begin{align*} & 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \\ & 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{7}{5}\\ & 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{17}{12}\\ & 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}}}} = \dfrac{41}{29}, \end{align*} $\sqrt2$的前十个逼近值依次是 $$1, \dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{12}, \dfrac{41}{29}, \dfrac{99}{70}, \dfrac{239}{169}, \dfrac{577}{408}, \dfrac{1393}{985}, \dfrac{3363}{2378}, \ldots,$$ e有如下连分数表示 $e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, … , 1, 2k, 1, …]$，其前十个逼近值为 $$2, 3, \dfrac{8}{3}, \dfrac{11}{4}, \dfrac{19}{7}, \dfrac{87}{32}, \dfrac{106}{39}, \dfrac{193}{71}, \dfrac{1264}{465}, \dfrac{1457}{536}, \ldots,$$ 其中第十个逼近值的分子各位数字之和为$1+4+5+7=17$。

求e的第100个逼近值的分子各位数字之和。

本题难度:

解答

查OEIS A007676可得第100个逼近值的分子是6963524437876961749120273824619538346438023188214475670667，因此结果是$272$。

附：程序实现

target=100

e=[1 if i%3 < 2 else (i/3+1)*2 for i in range(target)]
e[0]=2

a=e[target-1]
b=1
for i in range(target-2,-1,-1):
    a,b=e[i]*a+b,a
print a,b,sum([int(i) for i in str(a)])