螺旋阵对角线

从1开始，按顺时针方向铺开$5\times 5$的数阵如下: 21 22 23 24 25 20 07 08 09 10 19 06 01 02 11 18 05 04 03 12 17 16 15 14 13 可以看出，该数阵对角线上的数字之和是101。 用同样的方式构造$1001\times 1001$大小的数阵，则其对角线上的数字之和是多少？

本题难度:

解答

容易看出每个$n\times n$方阵右上角的数是$n^2$, 从而其他三个角落的数分别是 $n^2-(n-1)$, $n^2-2(n-1)$, $n^2-3(n-1)$, 求和得 \begin{align*} 1+\sum_{k=1}^{500}4\cdot (2k+1)^2-6\cdot (2k)&=1+\sum_{k=1}^{500}16k^2+16k+4-12k \\ &=2001+16\cdot\frac{500\cdot 501\cdot 1001}{6}+4\cdot\frac{500\cdot 501}{2} \\ &=2001+\frac{500\cdot 501\cdot (16016+12)}{6} \\ &=669171001 \end{align*} 本题无需编程。