字典序排列

给定一组数据，将其从左至右按一种特定顺序摆放称为这组数据的一个排列。例如 3 1 2 4 是{1,2,3,4}的一个排列 所有排列按照数字大小或字母先后形成的排序方式称为字典序，例如{0,1,2}的排列的字典序是 012 021 102 120 201 210 在{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的排列的字典序中，处于第一百万位的排列是什么？

本题难度:

解答

注意到 \begin{align*} 1000000&=2\times9!+6\times8!+6\times 7!+2\times 6!+5\times5!+1\times4!+2\times3!+2\times2! \\ &=2\times 362880+6\times40320+6\times5040+5\times120+1\times24+2\times6+2\times2 \end{align*} 因此： 第一位数是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中的第$2+1=3$个数字，即2。 第二位数是{0,1,3,4,5,6,7,8,9}中的第$6+1=7$个数字，即7。 第三位数是{0,1,3,4,5,6,8,9}中的第$6+1=7$个数字，即8。 第四位数是{0,1,3,4,5,6,9}中的第$2+1=3$个数字，即3。 第五位数是{0,1,4,5,6,9}中的第$5+1=6$个数字，即9。 第六位数是{0,1,4,5,6}中的第$1+1=2$个数字，即1。 第七位数是{0,4,5,6}中的第$2+1=3$个数字，即5。 第八到第十位数是{0,4,6}的排列的字典序中的第$2\times 2!=4$个数，因此是460。 综上可得结果$2783915460$。 本题无需编程。