偶斐波那契数

斐波那契数列中的每一项都是前两项的和。由1和2开始生成的斐波那契数列的前10项为：。 $$1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots$$ 考虑该数列中不超过四百万的项，求其中所有偶数之和

本题难度:

解答

取$a_1=a_2=1$, 以及 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. 令 $$S_n=a_1+\ldots+a_n,$$ 从而 $$S_1=1, \quad S_2=2, \quad S_3=4, \quad \ldots$$ 注意到 \begin{align*} a_{n+2}=&\;a_{n+1}+a_n, \\ &\vdots \\ a_{3}=&\; a_2+a_1, \\ a_{2}=&\; a_1+0. \end{align*} 将上述等式相加可得 $$S_{n+2}-1=S_{n+1}+S_n.$$ 令 $$S_n'=S_n+1,$$ 则有 $$S_{n+2}'=S_{n}'+S_{n}', \quad S_1'=2, S_2'=3, S_3'=5, \ldots,$$ 因此$S_n'=a_{n+2}$, 从而得到 $$S_n=a_{n+2}-1.$$ 直接计算得 $a_{34}=5702887$大于四百万 , 而$a_{33}=3524758$小于四百万， 显然当且仅当$a_{n-1}$和$a_{n-2}$均为奇数时$a_n$才为偶数, 因此所欲求之和数为 $$a_3+\ldots+a_{33}=\frac{1}{2}S_{33}=\frac{1}{2}(a_{35}-1)=\frac{1}{2}(9227465-1)=4613732.$$ 本题无需编程。