1.2 向量的几何表示与内积结构

解析几何



周维祺

引入：几种坐标系

基本运算的几何意义

长度、夹角、正交等概念不依赖于坐标系的选取，但在坐标系下变得更直观，借助代数手段也可以进一步推广

练习

  • 用∥a⃗∥\|\vec a\|表示向量a⃗\vec a的长度，下面的不等式是否成立，为什么？

  • ∥a⃗+b⃗∥≤∥a⃗∥+∥b⃗∥\|\vec a+\vec b\|\le\|\vec a\|+\|\vec b\|

  • ∥a⃗−b⃗∥≥∣∥a⃗∥−∥b⃗∥∣\|\vec a-\vec b\|\ge\left|\|\vec a\|-\|\vec b\|\right|

Rn\mathbb R^n上的内积

  • x⃗=(x1,x2,…,xn)\vec x=(x_1, x_2,\ldots, x_n), y⃗=(y1,y2,…,yn)\vec y=(y_1, y_2,\ldots, y_n)

  • (x⃗,y⃗)=x1y1+…+xnyn(\vec x,\vec y)=x_1y_1+\ldots+x_ny_n称为x⃗,y⃗\vec x,\vec y的内积

  • 也记作x⃗⋅y⃗\vec x\cdot\vec y, ⟨x⃗,y⃗⟩\langle\vec x, \vec y\rangle

内积的几何意义

  • (x⃗,x⃗)=x12+…+xn2\sqrt{(\vec x,\vec x)}=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}是x⃗\vec x的长度，记作∥x⃗∥\|\vec x\|

  • (x⃗,y⃗)=0⇔x⃗⊥y⃗(\vec x,\vec y)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \vec x\perp\vec y

  • (x⃗,y⃗)=∥x⃗∥∥y⃗∥cos⁡θ(\vec x,\vec y)=\|\vec x\|\|\vec y\|\cos\theta, θ\theta是x⃗,y⃗\vec x, \vec y的夹角

内积的代数性质

  • 双线性（实）：
    (x⃗+z⃗,y⃗)=(x⃗,y⃗)+(z⃗,y⃗)(\vec x+\vec z, \vec y)=(\vec x, \vec y)+(\vec z, \vec y)
    (ax⃗,y⃗)=a(x⃗,y⃗)(a\vec x, \vec y)=a(\vec x, \vec y)
    (x⃗,y⃗)=(y⃗,x⃗)(\vec x, \vec y)=(\vec y, \vec x)

  • 正定性：
    对任意x⃗\vec x都有(x⃗,x⃗)≥0(\vec x,\vec x)\ge0, 且等号仅在x⃗=0\vec x=0时成立

具有正定性的双线性运算都可以称为内积，从而把长度、距离、正交、角度等概念推广到更一般的空间

例子和练习

  • f,gf,g是[0,1][0,1]上的连续函数，(f,g)=∫01f(x)g(x)dx(f,g)=\int_0^1f(x)g(x)dx

  • 思考：为什么上述形式是正定的

  • A,BA,B是n×nn\times n的实矩阵，(A,B)=tr(ABT)(A,B)=tr(AB^T)

  • 思考：为什么上述形式是正定的

应用：正交投影

公式

  • 将x⃗\vec x投影到b⃗\vec b的方向上，用θ\theta表示两者的夹角

  • 取b⃗0=b⃗∥b⃗∥\vec b_0=\frac{\vec b}{\|\vec b\|},则∥b⃗0∥=1\|\vec b_0\|=1

  • 长度：(x⃗,b⃗0)=∥x⃗∥∥b⃗0∥cos⁡θ=∥x⃗∥cos⁡θ(\vec x, \vec b_0)=\|\vec x\|\|\vec b_0\|\cos\theta=\|\vec x\|\cos\theta

  • Pb⃗x⃗=(x⃗,b⃗0)b⃗0=(x⃗,b⃗)(b⃗,b⃗)b⃗P_{\vec b}\vec x=(\vec x, \vec b_0)\vec b_0=\frac{(\vec x, \vec b)}{(\vec b, \vec b)}\vec b

正交分解

  • 若两两正交且长度都为1的向量v1,…,vnv_1,\ldots,v_n是VV的一组基向量，则称其为VV的一组单位正交基向量

  • 若x⃗∈V\vec x\in V可以表示为x1v⃗1+…+xnv⃗nx_1\vec v_1+\ldots+x_n\vec v_n，则

  • (x⃗,v⃗k)=xk(\vec x,\vec v_k)=x_k (思考：为什么)

  • (x⃗,x⃗)=x12+…+xn2(\vec x,\vec x)=x_1^2+\ldots+x_n^2 (思考：为什么)

练习

  • 设
    v⃗1=(1,1,1,1)\vec v_1=(1,1,1,1)
    v⃗2=(1,−1,1,−1)\vec v_2=(1,-1,1,-1)
    v⃗3=(1,1,−1,−1)\vec v_3=(1,1,-1,-1)
    v⃗4=(1,−1,−1,1)\vec v_4=(1,-1,-1,1)

  • 将(1,2,3,4)(1,2,3,4)表示为v⃗1,v⃗2,v⃗3,v⃗4\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4的线性组合

小结

  • 几种坐标系及其相互转换

  • 内积的代数性质：双线性，正定

  • 内积赋予的几何结构：长度、距离、夹角、正交

  • 正交投影和正交分解